Метод Ньютона

У принциповому плані він являє собою узагальнення раніше розглянутого методу дотичних.

Припустимо, що вихідна система рівнянь має вигляд (5.4) або в згорнутому вигляді

. (5.41)

Нехай ,- деяке наближення до рішення. Розкладемо ліві частини (5.4), (5.41) по формулі Тейлора, обмежуючись обліком малих першого порядку. У результаті цього, одержимо

,

або, у більше зручному, матричному вигляді

,

де ,- матриця Якоби системи функцій . Припускаючи, що , розв'яжимо останнє рівняння відносно x. Тоді

і на основі цього співвідношення формується обчислювальний процес

, (5.5)

який і називається методом Ньютона.

Якщо послідовність сходиться до деякого вектора x, то він очевидно, і є рішенням системи (5.41). Дійсно, у цьому випадку з (5.5) треба

,

звідки, у силу , .

Питання збіжності послідовності (5.5) можуть бути вивчені також, як у п. 5.2. Достатнім для реалізації методу в області D, що містить рішення, є вимога .