Краткая теория

На рис. 1 изображен последовательный колебательный контур, состоящий из конденсатора, соленоида и резистора. Цель данной работы - изучение явления резонанса в колебательном контуре под действием внешней синусоидальной электродвижущей силы звуковой частоты.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, изображенной на рис. 1. При наличии переменной ЭДС с амплитудой

(1)

в цепи возникнет переменный ток той же циклический (круговой) частоты ( -частота), что и приложенная ЭДС, но с некоторым сдвигом по фазе

(2)

Переменный ток вызовет на всех элементах цепи - резисторе сопротивлением R, соленоиде индуктивностью L, конденсаторе ёмкостью С, соответствующие падения напряжения , и .

Напряжение на резисторе определяется законом Ома и равно:

(3)

Сдвиг фаз между колебаниями и I, как видно из сравнения формул (2) и (3), равен нулю.

Переменный ток, текущий через соленоид индуктивностью L вследствие явления самоиндукции вызовет ЭДС самоиндукции

Если считать индуктивность идеальной, т.е. активное сопротивление соленоида равным нулю, то в соответствии с законом Ома для участка, цепи, содержащего ЭДС, . Напряжение на соленоиде при этом будет равно ЭДС самоиндукции с обратным знаком, то есть;

(4)

Как видно из (2) и (4), напряжение на соленоиде опережает по фазе силу тока I на . Величина называется реактивным индуктивным сопротивлением, причем из (4)

, где амплитуда колебаний напряжения на соленоиде.

Протекание переменного тока через конденсатор ёмкости С можно трактовать как непрерывную перезарядку конденсатора, т.е. непрерывное изменение во времени заряда q на конденсаторе

(5)

При этом напряжение на конденсаторе, как известно, определяется отношением заряда конденсатора к его ёмкости:

(6)

Величина является амплитудой напряжения на конденсаторе. Величина называется реактивным емкостным сопротивлением, причём из (6) . Из формулы (2) и (6) видно, что напряжение на конденсаторе U_C отстаёт по фазе от силы тока I на .

По второму закону Кирхгофу для схемы, изображений на рисунке 1,

или

(7)

Продифференцировав уравнение (7) по времени, получим

(8)

или

(9)

Введя в уравнение (9) коэффициенты затухания и частоту собственных колебаний , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

(10)

Решением этого дифференциального уравнения является

, где

(11)

(12)

Величина называется полным сопротивлением цепи;

- сдвиг колебаний между колебаниями внешний ЭДС и силой тока в цепи. Ток отстает от напряжения или опережает его в зависимости от соотношения между и . Если частота изменения ЭДС равна частоте собственных колебаний тока в контуре (), то . При этом , то есть изменения тока и ЭДС происходят в фазе. В этом случае полное сопротивление Z становится минимальным и равным R, а амплитуда колебаний силы тока в цепи принимает максимальное значение. Напряжение на конденсаторе и на соленоиде становится одинаковыми по амплитуде и противоположными по фазе ().

Рассмотренное явление называется резонансом токов. Из (11) следует, что амплитудное значение тока при резонансе . Амплитудное значение напряжения на конденсаторе при резонансе равно

(13)

Здесь добротность контура. Если Q>1, то при резонансе напряжения на соленоиде и на конденсаторе превышает в Q раз ЭДС , приложенную к цепи.

Отметим, что максимум амплитуды колебаний силы тока достигается при частоте , а максимум амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе (резонанс напряжений) – при частоте , несколько меньшей . Однако если или