2015-08-21
5712
В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных'с трубой (рис. 2).
Рис. 2 К определению распределения скоростей и расхода
жидкости при ламинарном движении.
Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но, по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы «прилипает» к стенке, и ее скорость здесь обращается в нуль.
Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R (рис. 2, б), цилиндрический слой длиной l и радиусом r.
Движение слоя происходит под действием разности сил давления P 1 и Р 2 с обеих торцовых сторон цилиндра:
где 
– гидростатические давления в сечениях 1–1 и 2–2.
Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т, для которой, справедливо выражение
|
|
|
где 
– скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра ьа расстоянии г от оси;
– наружная поверхность цилиндра;
– вязкость жидкости.
Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r (при r = R величина wr = 0).
При установившемся движении разность сил давления 
затрачивается на преодоление силы трения T, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности и проектируется на ось, направление которой совпадает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно
или
откуда, после сокращения и разделения переменных, получим
Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от 
до 
, а переменная скорость в правой части – от w = w r до w 0 0 (у стенки, где 
)
Тогда
или
| 4-5 |
Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где 
:
| 4-5a |
Сопоставляя выражения (4-5) и (4-5a), находим
| 4-6 |
Уравнение (4.6) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.
Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (рис. 2, б) с внутренним радиусом 
и внешним радиусом 
, площадь которого равна 
. Объемный расход жидкости через это сечение составляет
или с учетом уравнения (4-5)
Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу:
|
|
|
| 4-7 |
Подставляя вместо 
диаметр трубы 
и обозначая 
, окончательно находим
| 4-7а |
Уравнение (4-7) или (4-7а), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля.
Соотношение между средней скоростью 
и максимальной скоростью 
можно получить, сопоставив значение Q из уравнений (4-1) и (4-7):
откуда
| 4-8 |
Сравнивая уравнения (4-5а) и (4-8), находим
| 4-9 |
Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.
Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (4-6), может быть представлен в виде
| 4-6а |
Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис. 3, а).
Рис. 3. Распределение скоростей при различных режимах движения:
a - ламинарный поток; б – турбулентный поток.
