Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрывно с т и, движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом , ребра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 5).

Рис. 5 К Выводу уравнения неразрывности потока

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью , равна . Тогда, согласно уравнению (4-1), через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси за единицу времени масса жидкости pwxdydz, а за промежуток времени – масса жидкости

где – плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны

и

Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время выйдет масса жидкости

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси :

Если составляющие скорости вдоль осей и равны и соответственно, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят:

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время dr равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому

Приравнивая оба выражения:

окончательно получим:

4-14

Данное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности патока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

Уравнение (4-14) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифференцирование произведений , получим

или

4-14а

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. , и уравнение (4-14) принимает вид

4-15

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, и, следовательно

4-16

Уравнение (4-15) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (4-15) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через . Поэтому данное уравнение можно представить как

4-16а

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения (рис. 6), проинтегрируем дифференциальное уравнение (4-15).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегрирование уравнения (4-15) дало бы зависимость

где – средняя скорость жидкости.

Рис. 6 К выводу уравнения постоянства расхода

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, те, интегрируя также по площади, получим

4-17

Для трех различных сечений (/–/, 2–2 и 3–3) трубопровода, имеем

4-17а

Или

где - массовый расход жидкости, кг/сек.

Выражения (4-17) или (4-17а) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода.

Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости.

Для капельных жидкостей:, и уравнение (4-17) принимает вид:

4-18

Следовательно

4-18а

или

где объемный расход жидкости, м³/сек.

Из уравнения (4-17а) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (4-17), массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.