Дифференциальное уравнение движения Эйлера

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Как уже говорилось, она не обладает вязкостью, т. е. движется без трения.

Рис. 7

Выделим в потоке элементарный параллелепипед.объемом , ориентированный относительно осей координат (рис. 7).

Проекции на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют:

для оси

для оси

для оси

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда

Если жидкость движется со скоростью , то ее ускорение равно , а проекции ускорения на оси координат: , и , где – составляющие скорости вдоль осей .

В соответствии с основным принципом динамики

или после сокращения

4-19

Или в другой форме, учитывая что субстанциональные производные соответствующих составляющих скорости равны:

4-20

Система уравнений (4-19) с учетом выражений (4-20) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока.