Теорема (Вейля – Мінковського)

Множина є багатогранником тоді і тільки тоді коли — обмежений багатогранник (поліедр).

Теорема показує, що будь-який багатогранник у певній системі координат може бути описаний за допомогою системи, яка складається з деякого скінченного числа лінійних нерівностей. Ця властивість з одного боку, дозволяє використовувати для вивчення багатогранників гарно розроблену теорію лінійних нерівностей, а з іншого боку, геометричним властивостям багатогранника надати алгебраїчну інтерпретацію.

Нехай нам задано деяку СЛО із двома змінними, тоді геометрично, в двовимірному просторі, кожну нерівність такої системи можна тлумачити як деяку півплощину, обмежену прямою, рівняння якої можна дістати з відповідної нерівності, змінивши знак нерівності знаком рівності. Аналогічно відбувається і в тривимірному просторі, якщо СЛО сумісна тоді вона утворює деякий безкінечний багатогранник, а в окремих випадках опуклий багатогранник. У випадку якщо СЛО складається лише з одної нерівності то така система утворює півпростір — простір який є однією з двох частин, на які гіперплощина ділить афінний простір. Якщо нерівностей дві то можливий випадок утворення так званого безкінечного опуклого багатогранника і т.д.

Опуклий багатогранник — частковий випадок багатогранника (політопу) з додатковою умовою опуклості. Опуклий політоп можна визначити як перетин кінцевого числа замкнутих півпросторів які утворені СЛО.

Замкнений півпростір може бути записаний лінійною нерівністю:

,

де n є розмірністю простору, що містить політоп, який розглядають. Отже замкнений опуклий політоп можна розглядати як множину рішень системи лінійних нерівностей:

,

де m є числом півпросторів, що описують політоп. Це може бути стисло переписано у вигляді матричної нерівності:

,

де A є m×n матрицею, x є n×1 вектор-стовпець змінних, і b є постійним m×1 вектор-стовпцем.

Відкритий опуклий політоп задається заміною нестрогих нерівностей на строгі у попередньому визначенні.