Анализ тренда

Экономические процессы чаще всего имеют многокомпонентную структуру (1).

, (1)

где l_t - тренд, представляющий собой ход кривой, со спокойным гладким характером, которая описывает долговременные изменения и определяет главное направление развития;

s_t - сезонная компонента, кратковременные регулярные колебания;

v_t - циклическая компонента, долгосрочные регулярные колебания.

u_t - случайная составляющая временного ряда, отражающая воздействие многочисленных факторов случайного характера.

Отметим, что стационарные временные ряды не содержат тренда, сезонной и циклической компонент, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Функции тренда для одномерных временных рядов могут представляться полиномами различных степеней и другими функциями относительно переменной времени t=1,2……n (моделями кривых роста), рисунок 1.

Рисунок 1 - Основные функций тренда и их графики

Анализ (выделение) тренда состоит из двух этапов:

- сглаживание временных рядов методом простой или взвешенной скользящей средней;

- применение моделей кривых роста для описания функции тренда и прогнозирования ряда.

Сглаживание используется как первый шаг при выделении (анализе) тренда временных рядов, содержащих значительную ошибку u_t, а также для удаления сезонной компоненты s_t. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты и периодические колебания взаимно погашают друг друга.

Общий метод сглаживания – метод скользящего среднего, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним g соседних членов, где g - длина интервала сглаживания. При этом отфильтровывают шум и преобразуются данные в относительно гладкую кривую. Простое скользящее среднее определяется по формуле (2).

, (2)

где y_i - фактическое значение i-го уровня временного ряда;

2p+1 – длина интервала сглаживания g;

- значение скользящего среднего в момент t.

Взвешенное скользящее среднее определяется по формуле взвешенного среднего арифметического (значениям y_i присваиваются веса).

На втором этапе анализа тренда применяют одну из моделей кривых роста, которая позволяет описать функцию тренда, т.е. получить выровненные (теоретические) значения уровней ряда для его прогнозирования. Среди кривых роста одной из наиболее распространённых является класс полиномов (3).

, (3)

где а_i (i=0…p) – параметры многочлена;

t- независимая переменная (время).

Оценки параметров полиномиальных моделей (3) определяются методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических y_i значений была бы минимальной, формула (4). Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами.