Основные действия с комплексными числами вытекают из его определения и схожи с действиями над многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В алгебраической форме | В тригонометрической форме | В показательной форме |
В случае комплексно – сопряженных чисел | ||
3) Деление.
В алгебраической форме | В тригонометрической форме | В показательной форме |
или |
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
, (1)
где n – целое положительное число.
Выражение (1) называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Вывести формулы sin2 j и cos2 j.
Решение.
Рассмотрим некоторое комплексное число
Тогда с одной стороны .
По формуле Муавра:
Приравнивая, получим
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:
,
где , .
Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно различных значений. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рис.2).