2015-08-13
614
Основные действия с комплексными числами вытекают из его определения и схожи с действиями над многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
| В алгебраической форме | В тригонометрической форме | В показательной форме |
| 
| 
|
| В случае комплексно – сопряженных чисел | ||
| 
|
3) Деление.
| В алгебраической форме | В тригонометрической форме | В показательной форме |
 или 
|
|
|
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
, (1)
где n – целое положительное число.
Выражение (1) называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Вывести формулы sin2 j и cos2 j.
Решение.
Рассмотрим некоторое комплексное число 
Тогда с одной стороны 
.
По формуле Муавра: 
Приравнивая, получим 
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней 
-ой степени из ненулевого комплексного числа:
,
где 
, 
.
Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно 
различных значений. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат (см. рис.2).
