Многочлены, разложение многочленов на множители

Функция вида f (x) называется целой рациональной функцией от х.

Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)

При делении многочлена f (x) на двучлен x – a получается

остаток, равный f (a).

Доказательство.

При делении многочлена f (x) на двучлен x – a частным будет многочлен f₁ (x) степенина единицу меньшей, чем f (x),а остатком – постоянное число R.

Переходя к пределу при х ® a, получаем f (a) = R.

Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f (a) = 0, то многочлен f (x)

делится на (х – а) без остатка.

Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то

это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.

Теорема. (Основная теорема алгебры)

Всякая целая рациональная функция f (x) имеет, по крайней мере,

один корень, на множестве комплексных чисел.

Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных

множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту

при xⁿ.

Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то

коэффициенты одного многочлена равны соответствующим

коэффициентам другого.

Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:

k_i - кратность соответствующего корня.

Следствие. Любой многочлен n – ой степени имеет ровно n

комплексных корней.

! Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется

а) найти значение выражения в алгебраической форме,

б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

Решение.

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспользуемся формулой Муавра.

Если , то