Многочлен над конечным полем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Многочленом над конечным полем называется формальная сумма вида

Здесь — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена , а — элементы алгебры над умножение которых задаётся правилами:

Такое определение позволяет умножать многочлены формально, не заботясь о том, что разные степени одного и того же элемента конечного поля могут совпадать.

Связанные определения

· Число называется степенью полинома и обозначается как .

· Если , то полином называется нормированным или унитарным. Полином всегда можно нормировать делением его на коэффициент при старшей степени.

· Сумма и произведение полиномов определены обычным образом, а операции с коэффициентами осуществляются в поле .

· Для двух полиномов и таких, что , всегда найдутся полиномы и над полем , что будет выполняться соотношение

· Если степень строго меньше степени , то такое соотношение называется представлением полинома в виде частного и остатка от деления на , причем такое представление единственно. Ясно, что делится без остатка на , что записывается как .