А б в г

Рис. 36. Змiна положення рiвня Фермi

а,б - нерiвноважнi стани, при яких число носіїв заряду у зонах менше рiвноважного; в - встановлення рiвноваги мiж електронами та дiрками; г - нерiвноважний стан, при якому концентрацiя електронiв та дiрок вище рiвноважної.

, (170)

де та - вiдповiдно рiвноважнi концентрацiї електронiв у зонi провiдностi та дiрок у валентнiй зонi власного напiвпровiдника.

Iз (169) та (170) виходить, що:

. (171)

. (172)

Так як та являються величинами вiд’ємними, то iз (171) та (172) витiкає, що рiвноважна концентрацiя носiїв у зонi тим менше, чим дальше вiд неї вiдстає рiвноважний рiвень Фермi. З огляду на те, що у власних напiвпровiдниках носiї збуджуються завжди парами, має мiсце наступна рiвнiсть: . Зрiвнявши правi частини виразiв (171) та (172), одержимо:

. (173)

Звiдси знаходимо вираз для рiвноважного рiвня Фермi:

. (174)

Пiдставивши у (174) iз (168) та iз (166), одержимо:

. (175)

Iз (174) видно, що при абсолютному нулi

. (176)

Висновок: рiвноважний рiвень Фермi у власному напiвпровiдниковi розташовується посерединi забороненої зони.

Пiдставивши iз (174) у (171), одержимо наступний вираз для рiвноважної концентрацiї носiїв заряду у власних напiвпровiдниках:

. (177)

Iз (177) видно, що рiвноважна концентрацiя носiїв струму у власному напiвпровiдниковi визначається шириною забороненої зони, (тобто типом напівпровідника) та температурою середовища. За приклад у таблиці 7 наведена концентрацiя носiїв заряду при кiмнатнiй температурi у кремнiї, германiї та сiрому оловi, якi мають один i той же тип гратки, але рiзну ширину забороненої зони. Iз таблиці видно, що зменшення ширини забороненої зони з 1,21 до 0,08 еВ (`приблизно у 15 разiв) викликає збiльшення концентрацiї носiїв на 9 порядкiв.

Таблиця 7

Напiвпровiдники	Si	Ge	Sn
, еВ	1,21	0,72	0,08
, м-3	1015	1019	1024

У таблиці 8 показано змiну концентрацiї носiїв зряду у германiї при змiнi температури. Збiльшення температури від 100 до 600К призводить до збiльшення концентрацiї носiїв заряду приблизно на 16 порядкiв.

Таблиця 8

Т, К
, м-3	3.107	3.1019	6.1022

Статистика носіїв заряду у домiшкових напiвпровiдниках

Електронний тип провідності. На рисунку 37а зображена зонна структура домiшкового напiвпровiдника -типу. Позначимо концентрацiю домiшки через . Енергiю електронiв у зонi провiдностi будемо вiдкладати уверх вiд дна зони; енергiю іонів („дiрок”), що утворюються на домiшкових рiвнях - униз вiд цих рiвнiв.

Розглянемо положення рiвноважного рiвня Фермi та рiвноважну концентрацiю електронiв у зонi провiдностi при рiзних значеннях температури напiвпровiдника.

а

Б в

Рис. 37. Змiна положення рiвня Фермi залежно вiд температури у домiшкових напiвпровiдниках -типу: а - зона провiдностi та домiшковi рiвнi; б - при ; в - при .

Область низьких значень температури. В областi низьких значень температури, у якої , переходами електронiв з валентної зони у зону провiдностi можна зневажити та рахувати, що електрони провiдностi з’являються внаслiдок iонiзацiї донорної домiшки. Рiвноважна концентрацiя цих електронiв, згiдно (171), дорiвнює:

, (178)

де - вiдстань вiд дна зони провiдностi до рiвноважного рiвня Фермi.

Рiвноважна концентрацiя iонiзованних донорiв дорiвнює:

, (179)

де - вiдстань вiд домiшкового рiвня до рiвня Фермi.

Повне число домiшкових станiв дорiвнює концентрацiї домiшкових атомiв , а , тому (179) можна переписати таким чином:

. (180)

В наближеннi, у якому концентрацiєю власних електронiв у зонi провiдностi можна зневажити, повинно, очевидно, дорiвнювати . Зрiвнюючи (179) та (180), одержимо:

.

Звiдси знаходимо рiвноважний рiвень Фермi:

. (181)

При абсолютному нулi

. (182)

Висновок: рiвноважний рiвень Фермi при ОК розташовується посерединi мiж дном зони провiдностi та домiшковими рiвнями.

При пiдвищеннi температури у напiвпровiднику протiкають два процеси: збiльшення концентрацiї електронiв n внаслiдок iонiзацiї домiшкових атомiв та збiльшення числа станiв у зонi ~ . Якщо n зростає повiльнiше, нiж , що має мiсце при , то ступiнь невиродженостi газу збiльшується i рiвень Фермi опускається униз (рис. 37б). Якщо зростає швидше (при ), то ступiнь невиродженостi газу зменшується i пiднiмається уверх до тих пiр, поки не зрівняється з . При подальшому підвищенні температури n починає знову вiдставати вiд та починає опускатися униз приблизно пропорцiйно (рис. 37в).

Пiдставивши у (178) рiвноважний рiвень Фермi iз (181), одержимо наступний вираз для рiвноважної концентрацiї електронiв провiдностi:

. (183)

Область виснаження домiшки. По мiрi пiдвищення температури концентрацiя електронiв у зонi провiдностi збiльшується, концентрацiя електронiв на домiшкових рiвнях зменшується - домiшковi рiвнi поступово виснажуються. При повному виснаженнi цих рiвнiв концентрацiя електронiв у зонi провiдностi стає рiвною концентрацiї домiшки:

. (184)

Пiдставивши це значення у (165), одержимо рiвноважний рiвень Фермi, який вiдповiдає повному виснаженню домiшки:

, (185)

де - температура, при якiй вiдбувається повне виснаження домiшки.

Рiвень повинен розташовуватися нижче , так як при iонiзацiї пiдлягає приблизно лише половина домiшкових рiвнiв. Часто за температуру виснаження домiшки приймають , при якiй рiвень Фермi спiвпадає з донорними рiвнями : .

Пiдставивши це значення у (165) та поклавши у цiй формулi, одержимо:

. (186)

Iз (186) видно, що тим нижче, чим менша енергiя iонiзацiї донорiв i нижче їх концентрацiя . Для германiя з м^-3 та eВ К.

Область високої температури (область переходу до власної провiдностi). При температурі, більшої абсолютного нуля, термiчному збудженню пiдлягають не тiльки електрони домiшкових атомiв, але й електрони валентної зони. Тому концентрацiя електронiв у зонi провiдностi дорiвнює сумi концентрацiй “домiшкових” електронiв та власних : . Вище температури виснаження домiшок та

. (187)

До тих пiр, поки концентрацiя електронiв у зонi провiдностi зберiгається практично незмiнною i рiвною . Проте, при достатньо високій температурі концентрацiя власних носiїв заряду може не тiльки досягти значення , але й значно перевершити його. У цьому випадку концентрацiєю “домiшкових” електронiв у (187) можна зневажити i рахувати, що . Це вiдповiдає переходу до власної провiдностi напiвпровiдника.

Розглянемо характер змiни положення рiвноважного рiвня Фермi у цiй областi температури. Пiдставивши iз (187) у (165), одержимо:

. (188)

При достатньо низькій температурі другий доданок у дужках малий у порiвняннi з першим i рiвень Фермi змiнюється з температурою практично лiнiйно (рис. 37в). Iз збiльшенням температури у (165) одержимо:

,

що безперервно зменшується i прямує до найбiльшого значення, яке дорiвнює:

(189)

- хiмiчному потенцiалу електронного газу у власному напiвпровiдниковi. Це означає перехiд до власної провiдностi напiвпровiдника.

За температуру такого переходу беруть , при якiй пунктирна пряма на рисунку 37в, описувана рiвнянням (185), перетинає рiвень Фермi у власному напiвпровiдниковi. Зрiвнюючи при правi частини (174) та (185), одержимо: .

Звiдси знаходимо:

. (190)

Iз (190) видно, що температура переходу до власної провiдностi тим вище, чим ширше заборонена зона напiвпровiдника та бiльше концентрацiя домiшки у ньому. Для германiя при .

На рисунку 38 показано криві залежностi натурального логарифму iз концентрацiї електронiв у зонi провiдностi напiвпровiдника вiд зворотньої температури. На кривих можна видiлити три дiлянки: дiлянка аб, що вiдповiдна домiшковiй провiдностi напiвпровiдника; дiлянка бв вiдповiдна областi виснаження домiшки; дiлянка вг, що вiдповiдає власнiй провiдностi напiвпровiдникiв. Iз (186) та (190) витiкає, що

, (191)

. (192)

З таких графіків та згідно з (191) і (192) можна обчислити ширину забороненої зони і тип напівпровідника, а також енергетичну характеристики домішки .

Рис. 38. Температурна залежнiсть концентрацiї носiїв заряду у домiшковому напiвпровiднику: теоретичнi кривi.

Дірковий тип провідності. Для визначення рiвноважних параметрiв дiрок у напiвпровiдниках -типу немає необхiдностi повторювати усi обчислення, зробленi для електронiв. Достатньо скористатися симетрiєю мiж зонами провiдності та валентною, про яку уже говорилося ранiше (рис. 39а,б).

У першому випадку домiшковi рiвнi та валентна зона поставляють електрони у зону провiдностi, у другому випадку домiшковi рiвнi та зона провiдностi поставляють дiрки у валентну зону. Тому для напiвпровiдникiв -типу повинен визначатися такими ж формулами, якими визначається для напiвпровiдникiв -типу (із замiною на , на та на ). Користуючись спiввiдношенням (1.171), легко визначити .

А б

Рис. 39. Симетрiя мiж зоною провiдностi та

валентною зоною.

Область низької температури.

, (193)

. (194)

Область виснаження домiшки.

, (195)

, (196)

. (197)

Область високої температури.

, (198)

, (199)

. (200)

Основні та неосновні носiї заряду

У домiшковому напiвпровiднику завжди мiстяться основнi та неосновнi носiї заряду. Встановимо зв’язок мiж їх концентрацiями.

На рисунку 40а показана зонна схема напiвпровiдника -типу. Основними носiями в ньому є електрони, неосновними - дiрки. Якщо являє собою рiвноважний рiвень Фермi, то рiвноважна концентрацiя електронiв у зонi провiдностi, як показано раніше, . Рiвноважна концентрацiя дiрок у валентнiй зонi дорiвнює: .

А б

Рис. 40. До висновку залежностi мiж концентрацiями основних та неосновних носiїв заряду у напiвпровiдниках.

Знайдемо добуток цих концентрацiй:

. (201)

Такий же результат з’явиться i при розглядi напiвпровiдника -типу (рис. 40б), у якому основними носiями є дiрки, неосновними - електрони.

Зручно рiвноважнi концентрацiї носiїв позначати так:

- концентрацiя електронiв (основних носiїв) у напiвпровiднику n -типу;

- концентрацiя дiрок (неосновних носiїв) у напiвпровiднику -типу;

- концентрацiя дiрок (основних носiїв) у напiвпровiднику -типу;

- концентрацiя електронiв (неосновних носiїв) у напiвпровiднику -типу.

У цих позначеннях спiввiдношення (201) перепишеться наступним чином:

. (202)

Це важливе спiввiдношення, яке широко використовується у теорiї напiвпровiдникiв, зветься законом дiючих мас.

Висновок: добуток рiвноважних значень концентрацiї основних та неосновних носiїв заряду у даному напiвпровiднику дорiвнює квадрату концентрацiї власних носiїв заряду у цьому напiвпровiднику.

Виродженi напiвпровiдникові матеріали.

На рисунку 41а лiворуч вiд осi енергiй показана зонна структура донорного напiвпровiдника при абсолютному нулi, праворуч - кривi щiльностi станiв для зони провiдностi (крива ав), валентної зони (крива ос) та донорних рiвнiв (вiдрiзок еd). Щiльнiсть станiв у енергетичних зонах пропорцiйна та графiчно зображується параболами. Домiшковi рiвнi у невиродженому напiвпровiдниковi розташовуються настiльки тiсно один вiд одного, що їх можна розглядати як єдиний рiвень зi щiльнiстю станiв, що зображується вiдрiзком еd.

По мiрi збiльшення концентрацiї домiшки вiдстань мiж домiшковими атомами зменшується та їх вплив один на одного зростає, внаслiдок чого виродження поступово знiмається i єдиний рiвень розщеплюється на пiдрiвнi, утворюючи домiшкову зону. Оцiнимо концентрацiю домiшки , при якiй починається це розщеплення.

Об’єм напiвпровiдника, що приходиться на один атом домiшки, дорiвнює ; середня вiдстань мiж домiшковими атомами . Коли ця вiдстань наближається до розмiру першої боровської орбiти валентного електрона домiшкового атому, то цi електрони одержують можливiсть тунельного переходу вiд одного атома до другого, що призводить до перетворення домiшкових рiвнiв у зону. Тому умовою початку утворення домiшкової зони є вимога:

. (203)

а

Б в

Рис. 41. Зонна структура вироджених напiвпровiдникiв.

Для атомiв миш’яку та сурьми, якi розчиненi у германiї, та м^-3. При домiшкова зона розширюється настiльки, що зливається з зоною провiдностi.

На рисунку 41б показана зонна структура напiвпровiника -типу при концентрацiї домiшки м^-3. Донорний рiвень розщепився у домiшкову зону ehd, верхня границя якої розташовується вище дна попередньої зони провiдностi . Щiльнiсть станiв у цiй зонi виражається кривою ehd. Накладення цiєї кривої на криву ав дає криву щiльностi станiв b ghd для зони провiдностi такого напiвровiдника. З рисунка 41б видно, що у подiбному напiвпровiдниковi, як у металi, зона провiдностi виявляється частково заповненною навiть при абсолютному нулi. Самий верхнiй заповненний рiвень являє собою рiвень Фермi. Електронний газ у зонi провiдностi такого напiвпровiдника, як i в зонi провiдностi металу, являється виродженим. З цiєї причини такi напiвпровiдники звуться виродженими.

На рисунку 41в показана зонна структура виродженого напiвпровiдника -типу. Акцепторнi рiвнi розмилися у домiшкову зону dhe, яка злилася з валентною зоною та утворила єдину зону dhgс виродженого напiвпровiдника. Верхня границя цiєї зони перемiстилася iз у ; останнiй зайнятий рiвень є рiвнем Фермi.

Розмиття домiшкової зони призводить до ще одного важливого наслiдку - зменшення ширини забороненої зони (рис. 41). Як показує досвiд при м^-3 заборонена зона у виродженому германiї зменшується з 0,7 до 0,5 еВ.