Линейный анализ устойчивости

Любая динамическая система ассоциируется в нашем представлении с эволюцией во времени. Предвидя возражения, укажем, что стационарное состояние, при котором скорость изучаемого процесса равна нулю, тем более состояние равновесия, также можно трактовать как предельный случай эволюции системы во времени. В естествознании типичной моделью динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение dx (t) /dt = x˙= F(x, µ), (1)

где x(t) – переменная состояния, F – некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции, µ – параметр системы. Если задано начальное состояние x(t0), то существует единственное решение уравнения dx(t) /dt = x˙= F(x, µ), которое предсказывает будущее состояние x(t) для любых t > t0. Если число переменных состояния равно двум или более, то моделью будет система двух или более уравнений:

x˙1=F1(x1, x2, µ);
(2)
x˙2 = F2(x1, x2, µ).
Число параметров также может быть больше, чем один.

В связи с тем что проблема устойчивости связана с анализом реакции системы на малое возмущение ее состояния, на первом этапе она может быть исследована в рамках линейного приближения. Поясним это. Пусть x0(t) есть некоторое частное решение уравнения (1).Устойчивость этого решения (состояния) мы хотим исследовать. Введем в рассмотрение переменную y(t), которая задает малое отклонение от частного решения:

y(t) = x(t) − x0 (t), (3)

Наша задача состоит в исследовании эволюции во времени малого возмущения y(t), которая подчиняется уравнению (1). Разложим функцию F в степенной ряд в окрестности частного решения

F(y) = dF/dx | x=x0 (t) ⋅ y (t) d^2F/ dx^2| x=x0(t) ⋅ y^2(t)+… (4)

Производные функции F должны вычисляться в точках, соответствующих частному решению. Перепишем уравнение (1) для возмущения y(t) с учетом (4):

y˙(t)= F (y, µ) = dF/dx |x=x0(t) ⋅ y (t) + Φ (y), (5)

где

Φ(y) = d^2F/dx^2 |x=x0 (t) ⋅ y^2 (t) +…

Слагаемые Φ(y) включают все члены с y^n (n >= 2), то есть учитывают нелинейные добавки. По определению, переменная y(t) есть малое отклонение от частного решения. Поэтому нелинейными членами в уравнении (5) в первом приближении можно пренебречь. Таким образом, для эволюции малого возмущения мы получаем линейное уравнение

y˙ = A (t)y, где A (t) = dF/dx |x= x0 (t). (7)

Если одномерное уравнение (1) описывает эволюцию исключительно в окрестности стационарных состояний, то уравнение (2) может иметь в качестве решения не только стационарные, но и периодические решения. С увеличением размерности исходной системы (1) в общем случае усложняются и типы возможных решений. Это создает определенные проблемы в исследовании устойчивости: ведь для решения уравнений для возмущений типа (7) необходимо знать частное решение x0 (t)! С применением современных компьютеров эти трудности легко преодолимы.