Понятие динамической системы

Устойчивость динамических систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

Студента 1 курса 121 группы
направления 011800 – Радиофизика физического факультета
Гарькавого Андрея Николаевича

Научный руководитель
профессор, доктор физ.-мат. наук, доцент ________________ В.С. Анищенко

Зав. кафедрой
доктор физ.-мат. наук, профессор ________________ В.С. Анищенко

Саратов 2015

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение.
2. Понятие динамической системы. Классификация динамических систем.
3. Линейный анализ устойчивости.
4. Бифуркации динамических систем. “Мягкие” и “жесткие” бифуркации.
5. Заключение.

Введение

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость - способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии и грубость - сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; « грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»

Понятие динамической системы.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Пространство всех возможных состояний динамической системы называется фазовым пространством системы. Любому состоянию динамической системы соответствует точка в фазовом пространстве, при том двум различным состояниям не может соответствовать одна и та же точка.

Так же все динамические системы делятся на две большие группы - консервативные и диссипативные. В консервативных системах начальный запас энергии остаётся постоянным, т.е. энергия ни на что не затрачивается и ниоткуда не поступает. Отличительной чертой консервативно системы является то, что фазовый объём сохраняется под действием оператора эволюции. Если в системе имеются потери энергии или наоборот подкачка, то такая система является диссипативной. Диссипация энергии эквивалентна сжатию фазового объёма под действием оператора эволюции.

Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (ко- ординаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.