Классификация динамических систем

Если динамическая система задана уравнением x’ = F (x)то постулируется, что каждому x(t0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t), t > t0, куда за время t − t0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением x’ = F (x).В операторной форме x’ = F (x) можно записать в виде

x(t) = Tt x(t0),

где Tt – закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t0), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t > t0. Так как x(t0) и x(t) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то,математики говорят в данной ситуации: оператор Tt отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор Tt оператором отображения или просто отображением.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем. Способы задания оператора отображения T так- же могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции.