2015-08-21
1136
Наряду с лагранжевыми элементами могут быть использованы и эрмитовы элементы. Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо лагранжевых. При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и ее производные.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами, причем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени свободы – функция u и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для элемента может быть записана в виде:
(4.4.5)
У базисной функции Nij в этом равенстве первый индекс обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй – номер узла. Для того, чтобы в (4.3.5) в узле k давало uk и ∂ uk/∂x, функции N0i (x) и N1i(x) должны (при i≠j) удовлетворять соотношениям:
N0i(Xi) = 1, N1i(Xi) = 0, N′0i(Xi) = 0, N′1i(Xi) = 1,
(4.4.6)
N0i(Xj) = 0, N1i(Xj) = 0, N′0i(Xj) = 0, N′1i(Xj) = 0.
Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:
, 
, j ≠ i. (4.4.7)
В качестве конкретного примера рассмотрим случай r=2. Равенство (4.4.5) при этом примет вид:
(4.4.8)
где базисные функции (записанные по индексам i,j) получены из (4.4.7) и (4.4.8):
(4.4.9а))
(4.4.9б))
Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды:
первая – в направлении x, а вторая – в направлении y, что дает базисные функции в виде произведения одномерных базисных функций.
