Математическое описание элемента можно получить тремя способами. В этом параграфе приведен первый, как наиболее общий.
Для наглядности рассмотрение проведем на конкретном примере двумерного треугольного элемента с тремя узлами (см. рис. 4.1).
Представим приближенное решение для элемента полиномом 1-го ранга с
неизвестными коэффициентами :
, . (4.1.1)
Подставляя в (4.1.1) координаты узлов и получаемые в результате значения функции в каждом из узлов – , соответственно, получим систему уравнений (4.1.2) для определения :
Рис. 4.1
= , (4.1.2)
решение которой можно получить методом Крамера.
Определитель этой системы уравнений равен 2А – удвоенной площади элемента [11]:
. (4.1.3)
Запишем в развернутом виде решение системы (4.1.2) на языке алгебраических дополнений:
; ;
.
Подставим найденные значения в (4.1.1) и сгруппируем члены, умножаемые на узловые значения функции Uq (q=i,j,k):
Выражения в квадратных скобках зависят от координат узлов элемента и текущих переменных и . Их принято называть функциями формы, базисными или интерполяционнымифункциями элемента. Представим их в общем виде:
|
|
, . (4.1.4)
Элементами матрицы qp служат алгебраические дополнения определителя (4.1.3):
(4.1.5)
и являются определителями 2-го порядка.
Более удобной является несколько иная форма записи базисных функций:
; . (4.1.6)
Сопоставляя последнее выражение с (4.1.4) и (4.1.5), видим, что коэффициенты – это столбцы матрицы (4.1.5) при фиксированном соответственно;
при фиксированном это элементы соответствующей строки этой же матрицы. Например, при и получим:
, , ;
при и для базисной функции будем иметь:
.
Раскрывая алгебраические дополнения, найдем конкретные выражения коэффициентов через координаты узлов элемента:
ai = XjYk – XkYj; aj = XkYi – XiYk; ak = XiYj – XjYi;
bi = Yj – Yk; bj = Yk – Yi; bk = Yi – Yj; (4.1.7)
ci = Xk – Xj; cJ = Xi – Xk; ck = Xj – Xi.
Переход к другим системам координат осуществляется заменой текущих переменных , : в цилиндрической – на , ; в сферической – на и .
С введением понятия базисной функции аппроксимирующую функцию (4.1.1) (или (4.1.4)) можно представить как явную функцию ее узловых значений :
(4.1.8а))
или в матричной форме:
, (4.1.8б))
где [ e(x,y) ] – матричная строка базисных функций; { } – вектор-столбец значений функций в узлах элемента.
Степень аппроксимирующего полинома определяет число узлов, которым должен обладать элемент, – оно должно равняться числу неизвестных коэффициентов , входящих в полином. Например, если вместо (4.1.1) взять полином 2-ой степени:
,
то для определения элемент должен содержать шесть узлов – q =1,2…..6.
Располагать дополнительные узлы следует на сторонах треугольника, желательно (но не обязательно) в их серединах, как показано на рис. 4.2. Элементы с полиномом 2-ой степени называют квадратичными, 3-ей степени - кубичными и т.д. Находить базисные функции этих элементов очень сложно, так как для этого необходимо раскрывать определители q-го порядка.
|
|
Если дополнительные узлы соединить прямыми, то треугольный элемент разобьется на четыре треугольные подобласти меньшего размера. Замена квадратичного элемента четырьмя линейными существенно упрощает математическую процедуру
отыскания решения, – система уравнений становится линейной.
Рис. 4.2 Расположение дополнительных узлов на сторонах элемента
Аппроксимирующую функцию (4.1.1) для двумерного треугольника легко обобщить на трехмерный элемент – тетраэдр – добавлением третьей – z-ой координаты:
, . (4.1.9)
Рис. 4.3
Из вида (4.1.9) следует, что формулы для тетраэдра получаются, минуя все
; ; (4.1.10)
процедуры, из формул для треугольника простым увеличением на единицу порядка определителя (4.1.3) и ранга матрицы (4.1.5). При этом элементы – алгебраические дополнения определителя , становятся определителями 3-го порядка.
Базисные функции тетраэдра будут иметь вид, аналогичный функциям треугольного элемента (4.1.4) или (4.1.6):
, , (4.1.11)
или
. (4.1.12а))
Формула интерполяционной функции для тетраэдра имеет вид:
(4.1.12б))
Описанный первый способ получения базисных функций, основанный на решении уравнений методом Крамера, удобен для простых, так называемых симплекс-
элементов, допускающих использование полинома первого порядка. Число узлов симплекс-элементов на единицу больше его размерности, т.е. минимально возможное. Для элементов, контуры которых не совпадают с координатной сеткой системы, первый способ является единственно возможным.