Метод Лагранжа

Достоинство первого способа состоит в его применимости к любым элементам независимо от их размерности и количества узлов. С его помощью при известном в явном виде аппроксимирующем полиноме -го ранга базисные функции в принципе всегда могут быть найдены, так как матрица типа (4.1.2) обратима, поскольку ее определитель (4.1.3) отличен от нуля, – площадь или объем элемента никогда не равны нулю. Универсальность метода Крамера нивелируется его неэффективностью при числе узлов элемента .

К элементам, образованным координатными линиями, целесообразно применять более простой метод Лагранжа.

Рассмотрим аппроксимацию функции полиномом -го ранга, считая, что значения функции заданы как в точках . Из численного анализа известно, что функция может быть задана как полином -ой степени:

, (4.2.1)

где – полином Лагранжа, определяемый равенством:

. (4.2.2)

Если под понимать аппроксимирующую элементную функцию , то из сопоставления (4.2.1) с (2.2.1) видно, что полиномы Лагранжа – это базисные функции элемента, а базовые точки – координаты его узлов, или узловые точки.

Проиллюстрируем метод Лагранжа на примере изображенного на рис. 4.4 элемента, образованного координатными линиями декартовой системы [4].

Использование равенств (4.2.1) и (4.2.2) на стороне 1–2 (y=const), позволяет определить u(x) на этой стороне:

где ; ;

Аналогично на стороне 4–3 получим:

Применяя эти же рассуждения для сторон с , найдем:

, где ; .

Собирая полученные выражения, для аппроксимирующей функции элемента будем иметь:

Видно, что попарные произведения полиномов Лагранжа соответствуют базисным функциям элемента:

; ;

; .

Здесь – площадь элемента.

Обобщая эти соотношения на трехмерный элемент – координатную ячейку, придем к его математическому описанию в виде произведения трех лагранжевых полиномов, справедливому при любом :

, p ≠ q, (4.2.4)

где ξ_i – текущая переменная; ζ_i – координаты q -го и p -го узлов; p – индексы узлов, с которыми узел q расположен на координатных поверхностях .