Метод статистичних випробовувань

Якщо у процесі моделювання необхідно враховувати деякий випадковий фактор, який неможливо описати аналітично, то використовується важливий метод моделювання, а саме метод статистичних випробовувань (МСВ), або метод Монте-Карло.

МСВ відноситься до числових методів математичного моделювання випадкових величин. Суть методу полягає у безпосередньому включенні випадкових факторів у процес моделювання. Вплив випадкових факторів на систему моделюється за допомогою випадкових чисел. Результатом моделювання є випадкові процеси або величини, які характеризують систему. Для співпадання ймовірнісних характеристик моделюючої системи (ймовірність подій, математичне сподівання, дисперсія та ін.) з аналогічними параметрами випадкових процесів або величин потрібно здійснювати велику кількість їх реалізації. Таким чином, багатократне проведення випробовувань ймовірнісної моделі з подальшою статистичною обробкою результатів моделювання лежить в основі МСВ і дозволяє отримати шукані характеристики досліджуваної моделі у вигляді оцінок її параметрів.

МСВ доцільно використовувати у таких випадках, коли побудова аналітичної ймовірнісної моделі системи є утруднена або неможлива, а функціонування досліджувальної системи характеризується багатьма ймовірнісними параметрами.

Зазначимо, що для МСВ обсяг обчислень у разі збільшення розмірності задачі зростає за лінійним законом, а для звичайних числових методів обсяг обчислень розглядається як показникова функція розмірності задачі.

Алгоритм МСВ незалежно від досліджуваної моделі системи полягає у наступному [4, 5]:

· необхідно визначити, що являє собою кожне випробовування і зазначити, яке випробовування є успішним, а яке ні;

· визначити необхідну кількість випробовувань для отримання результатів із заданою точністю, і провести ці випробовування;

· виконати статистичну обробку результатів випробовувань та обчислити оцінки статистичних характеристик;

· проаналізувати точність отриманих результатів.

Отже, МСВ – це метод математичного моделювання випадкових величин, коли випадковий фактор безпосередньо включається у процес моделювання і є його важливим елементом. Зазначена послідовність кроків реалізації МСВ є обов’язковою для моделювання будь-якої системи.

Однак конкретний зміст цих кроків залежить від поставленого завдання та типу досліджуваної системи. Вплив випадкового фактора моделюється за допомогою випробовувань. Тому для ефективного застосування МСВ необхідне використання генераторів випадкових чисел із заданим законом розподілу. Такі генератори будуються апаратними або програмними методами. Найбільш застосованими є програмні методи, які дозволяють отримати рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1] значення випадкових чисел за рекурентними співвідношеннями.

Найважливіша властивість таких випадкових чисел полягає у можливості отримання вибіркових значень з будь-яким іншим розподілом, або у моделюванні випадкових процесів з різними статистичними характеристиками.

Рівномірно розподілені в інтервалі (0, 1) випадкові числа мають дві основні властивості:

1. Комулятивний розподіл F (за визначенням F (r_i) = P_i (r_i < r)) рівномірно розподілених в інтервалі (0, 1) випадкових чисел r_i (і = 1, 2, …)задовольняє співвідношенням для F (r_i):

Теоретично випадкові числа r_i мають бути вибірковими значеннями неперервної величини, функція щільності якої визначається формулою:

Але у комп’ютерній реалізації використовуються лише дискретні значення, у яких після коми є фіксована кількість десяткових знаків.

2. Випадкові числа r₁,…,r_n є незалежними якщо їх сумісний комулятивний розподіл G можна подати як добуток окремих функцій розподілу