Вільні коливання систем з нелінійною відновлювальною силою. Метод послідовних наближень

У цих випадках дослідження коливань зводиться до інтегрування нелінійного диференціального рівняння. Не обговорюючи окремих випадків аналітичних рішень, познайомимося з досить поширеним методом наближеного розрахунку, званого методом послідовних наближень.

На прикладі руху маятника в рівнянні (1.1) після розкладання (1.2) функції залишимо член з (обмежуємося значеннями ). Рівняння (1.1) запишемо у формі

(1.7)

де

Приймаючи за малий параметр, будемо шукати розв’язок у вигляді ряду за степенями :

(1.8)

Підставляючи (1.8) в (1.7), отримаємо

При є розв’язок нульового наближення, тобто рівняння

Тоді прирівнюючи до нуля суми членів розкладання при і т.п. з урахуванням попередніх рівнянь для наближень одержуємо:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

Вибираючи початкові умови у вигляді запишемо розв’язок нульового наближення у вигляді Рівняння першого наближення (1.10) тепер стане:

(1.12)

Скориставшись тригонометричним перетворенням функції через кратні кути, отримуємо рівняння

(1.13)

Стандартна процедура знаходження частинного розв’язку, відповідного виду функції правої частини рівняння призводить до розв’язку

(1.14)

Очевидно, що наявність в розв’язку (1.14) секулярного члена не відповідає реальному руху системи.

Причиною даного протиріччя є обрана форма приватного рішення з періодом , тобто з періодом нульового наближення, який не залежить від амплітуди коливань (так звані ізохронні коливання). Дослідження загальних властивостей поведінки маятника за допомогою фазової площини вказує на неізохронність коливань. Відхилення періоду від повинно залежати від ступеня нелінійності системи. Тому природно ввести нову частоту коливань у вигляді розкладання по ступенях :

(1.15)

де і т.п. - деякі поки невідомі величини.

Обмежимося першим наближенням в (1.15) і позначаюи знайдемо:

Підставляючи в (1.7), одержимо рівняння

Знову відшукуючи його рішення у вигляді розкладання (1.8) для ну-

льового наближення з тими ж початковими умовами матимемо рішення у вигляді:

Рівняння першого наближення прийме вигляд:

(1.16)

або

(1.17)

Щоб у частинному розв’язку цього рівняння позбутися необмежено зростаючого члена величину виберемо з умови

тобто З (1.15) тепер отримуємо

або

Рівняння першого наближення (1.17) приймає вигляд

(1.18)

спільний розв’язок якого запишемо у вигляді

де – довільні постійні.

Таким чином, повний розв’язок рівняння (1.7) у першому наближенні запишеться у вигляді

(1.19)

Значення і знаходяться з тих же початкових умов:

Опускаючи проміжні викладки, запишемо остаточний вид розв’язку

і для маятника в першому наближенні маємо

(1.20)

З (1.20) витікає:

1. Коливання неізохронні.

2. Коливання не є чисто синусоїдальними, так як у розв’язку присутня третя гармоніка.

Неізохронність можна представити у вигляді графіка (рис.1.7) функції

Рисунок 1.7 – Ілюстрація неізохронності коливань

Його результати можна використовувати при змінах амплітуди до в області яких справедливо прийняте розкладання функції .