2015-08-21
1957
Для более полной характеристики изучаемой совокупности данных в целом и закономерностей, присущих ей, используют числовые характеристики выборки (или описательные статистики).
Все числовые характеристики подразделяют на два вида: характеристики центральной тенденции и характеристики рассеяния. Характеристики центральной тенденции определяют положение центра эмпирического распределения. К ним относятся среднее арифметическое, мода, медиана. Характеристики рассеяния характеризуют уровень вариации (изменения) значений признака около центра эмпирического распределения. К ним относятся размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации.
Среднее арифметическое (или выборочное среднее)  – это значение признака,сумма отклонений от которого всех выборочных значений признака равна нулю.
1). Для дискретного вариационного ряда:  (1)
2). Для интервального вариационного ряда:  (2)
Обозначения:  – среднее арифметическое; n – объем выборки; k – число вариант или интервалов группировки; xi – варианта выборки; ni – частота варианты;  – середина интервала;  – частота интервала.
|
Отклонение от среднего: d = - М
|
|
|
В нашем примере выборочное среднее равно
(4х4+5х1+6х5+7х2+8х3): 15 = 89: 15 = 5, 93» 6.
Медиана (Me) соответствует центральному значению в последовательном ряду всех полученных значений
Медиана – это варианта, приходящаяся на середину упорядоченного статистического ряда.
1). При нечетном n медианой является варианта с номером  , при четном n медиана равна среднему арифметическому вариант с номерами  и  .
2). Медианный интервал – интервал группировки, в котором накопленная частота впервые окажется больше  .
Для интервального вариационного ряда:  (3)
Обозначения:  – медиана; n – объем выборки; h – ширина интервалов;  – нижняя граница медианного интервала; nm – частота медианного интервала; nm- 1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
|
В нашем примере, чтобы найти медиану, выпишем все значения в порядке возрастания: 4 4 4 4 5 6 6 o 6 6 7 7 8 8 8. В середине этого ряда стоит число 6, оно и является медианой этого ряда.
Мода – это варианта, наиболее часто встречающаяся в выборке. В выборке может быть несколько мод.
Модальный интервал – интервал группировки, имеющий наибольшую частоту.
Для интервального вариационного ряда:
 (4)
Обозначения:  – мода; n – объем выборки; h – ширина интервалов; – нижняя граница модального интервала; nm – частота модального интервала; nm- 1 – частота интервала, предшествующего модальному; nm+ 1 – частота интервала, следующего за модальным.
|
В нашем примере модой является значение 6, так как оно имеет наибольшую частоту.
|
|
|
Мода используется редко и главным образом для того, чтобы дать общее представление о распределении. В некоторых случаях у распределения могут быть две моды; тогда говорят о бимодальном распределении. Такая картина указывает на то, что в данном совокупности имеются две относительно самостоятельные группы.
Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего арифметического.
1). Для дискретного вариационного ряда:  (5)
2). Для интервального вариационного ряда:  (6)
Обозначения: D – дисперсия; n – объем выборки; k – числоо вариант или интервалов группировки;  – варианта;  – частота варианты; – среднее арифметическое; – середина интервала;  – частота интервала; – среднее арифметическое.
|
Для нахождения выборочной дисперсии составим следующую таблицу:
| xi | ni | xi - М | (xi – М)2 | (xi – М)2 · ni |
| 4-6=-2 | (-2)2 =4 | 4 · 4 = 16 | ||
| 5-6=-1 | (-1)2 =1 | 1 · 1 =1 | ||
| 0 · 5 = 0 | ||||
| Σ |
D = 29: (15 – 1) = 2,07
Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение):
 (7)
Размах (разброс) вариации: R = x max – x min (8)
Коэффициент вариации:  (9)
|
Тогда 
= 1,44, V = 1,44: 5,93 = 0,24, R = 8 – 4 = 4.
Стандартное отклонение (оно в нашем случае равно 1,44), позволяет сказать, что большая часть результатов располагается в промежутке (М х – σ; М х + σ), в нашем случае это промежуток (4,49; 7,37). В нашей выборке в этот промежуток попадают 8 значений из 15.
