Цель работы

1 2 3 4 5

Лабораторная работа № 5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

ЗАДАЧА ДИРЕХЛЕ ДЛЯ ЭЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.

Цель работы

1. Знакомство с методами численного решения дифференциальных уравнений с частными производными в рамках задачи Дирехле.

2. Разработка численной ММ, реализующей один из методов.

3. Оценка точности полученной ММ при помощи средств MATLAB.

Решение дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП) в аналитическом виде удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. Далее будем рассматривать только линейные ДУЧП.

Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения линейных ДУЧП является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор сделан на пояснение и описание этого метода.

В общем случае ДУЧП для функции u двух аргументов имеет вид

, (1)

где x, у – независимые переменные, u(x,y) – искомая функция, u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y.

Решением уравнения (1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (интегральная поверхность).

Уравнение (1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравнение может быть записано в виде

, (2)

причем коэффициенты А, В, С, а, b, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (2) будет линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное дифференциальное уравнения (2).

Пусть D= В²-4АС – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (2) относится в заданной области к одному из следующих типов:

D < 0 – эллиптический тип; D = 0 – параболический тип;

D > 0 – гиперболический тип; D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Например, температура и=и(х, у) точки (х,у) пластинки при стационарном распределении (т. е. при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению Лапласа вида:

(3)

Для этого уравнения А=1, В=0, С=1 Тогда дискриминант D= В²-4АС <0 поэтому уравнение (3) эллиптического типа

Уравнения Лапласа в конечных разностях

Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа (частный случай уравнения эллиптического типа) достаточно, выбрав шаг h>0, заменить производные отношениями конечных разностей по формулам:

и .