ДМ 1. ОСНОВННЫЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Основные понятия математической логики
Высказыванием называется предложение, о котором можно судить, истинно оно или ложно.
Действия над высказываниями заключаются в том, что при помощи связок из одних высказываний образуются новые высказывания. Результат действия называется также как и само действие.
И | Л |
Л | И |
Отрицание (иначе инверсия) сводится в присоединении к высказыванию a связки «не». В результате получается высказывание «не a», также как и действие называемое отрицанием высказывания a. Результат обозначается . Отрицание истинно, если исходное высказывание ложно; отрицание ложно, если исходное высказывание истинно.
Определение истинностного значения отрицания можно записать в виде таблицы.
a | b | a Ù b |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Л | Л | Л |
Конъюнкция высказываний a, b образуется с помощью связки «и», обозначаемой символом Ù. Конъюнкция a Ù b истинна тогда и только тогда, когда истинны оба образующих её высказывания (см. таблицу).
|
|
a | b | a Ú b |
И | И | И |
И | Л | И |
Л | И | И |
Л | Л | Л |
Дизъюнкция высказываний a, b образуется с помощью связки «или», обозначаемой символом Ú. Дизъюнкция a Ú b истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из образующих её высказываний (см. таблицу).
a | b | a Å b |
И | И | Л |
И | Л | И |
Л | И | И |
Л | Л | Л |
Эксорция (исключающее или) высказываний a, b образуется с помощью связки «[либо] …, либо …»[1], обозначаемой символом Å. Дизъюнкция a Å b истинна тогда и только тогда, когда одно из образующих её высказываний истинно, а другое ложно (см. таблицу).
Импликация высказываний a, b образуется с помощью связки «если
a | b | a Þ b |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | И |
Л | Л | И |
…, то …», обозначаемой символом Þ (a Þ b, читается «если a, то b» или «из a, следует b», или «a влечёт b»). В этом выражении высказывание a называется посылкой, а высказывание b — следствием или заключением. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно (см. таблицу).
a | b | a Û b |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Л | Л | И |
Эквиваленция (или равносильность) высказываний a, b образуется с помощью связки «… равносильно …» или «тогда и только тогда, когда …», обозначаемой символом Û (a Û b, читается «a равносильно b»). Эквиваленция истинна тогда, если значения истинности образующих высказываний совпадают (см. таблицу).