Пересечение. Множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих A и B, называют пересечением и обозначают (читается «а и бэ»).
Пересечение множеств удобно иллюстрировать как пересечение фигур на диаграмме (рис. 2). Приведем символическую запись определения пересечения множеств A и B:
.
Пример 1. A= {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, B= {0; 2; 4; 6; 8}; = {4; 6; 8}. Множества A и B пересекаются.
Пример 2. C= {1; 3; 5; 7; 9}, B= {0; 2; 4; 6; 8}; . Множества C и B не пересекаются.
Аналогично определяется пересечение трёх множеств.
Объединение. Объединением множеств A и B называется множество, включающее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Объединение обозначается (читается «а или бэ»).
Пример 1. A= {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, B= {0; 2; 4; 6; 8}; A B= {0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Пример 2. A= {1; 3; 5; 7; 9}; A Æ =A= {1; 3; 5; 7; 9}.
Приведем символическую запись определения объединения множеств:
Аналогично определяется объединение трёх множеств.
Основные свойства пересечения и объединения.
Пересечение: 1) , 2) .
Объединение: 1) , 2) .
Переместительный (коммутативный) закон:
|
|
, .
Сочетательный (ассоциативный) закон:
,
.
Распределительный (дистрибутивный) закон:
пересечения относительно объединения —
;
объединения относительно пересечения —
.
Вычитание. При помощи действия вычитания находят разность двух множеств.
Разностью множеств A и B называется множество, включающее все элементы, принадлежащие множеству A, не принадлежащие множеству B. Разность обозначается (читается «а, но не бэ»).
Пример. A= {a; b; g; d}, B= {b; e; m}, A \ B= {a; g; d}, B \ A= {e; m}.
Диаграмма разности множеств A и B показана на рисунке 4. Приведем запись определения разности множеств сокращенной логической символикой:
.
Если множество B является подмножеством множества A, то разность A \ B называют также дополнением множества B до множества A (см. рис. 5). Для дополнения множества B в множестве A часто используют обозначение . Выразим определение дополнения символически:
.
Итак, в результате алгебраической операции мы получаем новое множество. С помощью алгебраических операций и понятия подмножества можно описывать отношения между множествами.