Алгебраические системы

Множество X, на котором заданы алгебраические действия (операции), называется алгебраической структурой (или алгебраической системой). Множество X называется носителем алгебры, а список операторов (знаков действий) — сигнатурой алгебры. Для алгебры важно, чтобы действия проводились над любыми элементами множества, и результатом являлся элемент этого же множества.

На множестве N всюду определены сложение и умножение. Потребность включения в алгебру вычитания привела к понятиям отрицательных чисел и нуля. Множество целых чисел Z получает дальнейшее обобщение в связи с тем, что на нём не всюду определено деление, появляются дроби. Множество рациональных чисел Q можно считать замкнутым относительно операций +, –, ×, /, с единственной оговоркой — неопределенно деление на нуль. Рассмотрение других действий приводит к открытию иррациональных чисел, которые в совокупности с рациональными образуют множество действительных чисел R. В дальнейшем потребность всюду определить операции возведения в дробную степень привела к открытию комплексных чисел.

Множество высказываний также является алгебраической системой.

.

Алгебраической системой является также булеан любого множества. На нем определены операции пересечения, объединения, вычитания и дополнения:

.

Латинский алфавит

[1] В квадратные скобки обычно заключают элемент выражения, который можно опустить.

[2] Использовано общепринятое сокращенное обозначение дней недели.

[3] Gen — сокр. слова генерация (порождение).

[4] Такие наглядные изображения называют диаграммами Венна (в честь английского математика и логика Джона Венна), хотя известно, что ими пользовался Л. Эйлер задолго до появления теории множеств.

[5] В честь английского математика и логика Джорджа Буля.

[6] В скобках указаны французские названия букв, параллельно употребляемые в русскоязычной математической традиции.