Решение. Так как

, то — нильпотентный оператор индекса 3. Строим подпространства .

Находим систему векторов, дополняющую базис до базиса . Она будет состоять из одного вектора, так как . Вектор и, значит, будет искомым. Находим . Так как , то вектор дополняет базис до базиса . Находим . . Так как , то ищем вектор такой, что система дополняет базис до базиса , т.е. такой, что система является базисом . Очевидно, вектор является искомым. Следовательно, система - искомый канонический базис. Матрица оператора в этом базисе равна

Иногда достаточно знать матрицу нильпотентного оператора в каноническом базисе, не находя самого базиса. Ответ на такой вопрос дает

Теорема 2. Пусть — жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора — число всех клеток Жордана, стоящих “на диагонали” матрицы — число всех клеток Жордана порядка , стоящих “на диагонали” матрицы .

Тогда

1. .

3. Максимальный размер клеток Жордана матрицы равен индексу нильпотентности оператора .

Доказательство. Заметим, что в жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора на диагонали стоят собственные значения этого оператора вместе с их кратностями и только они. Так как в каноническом базисе (3), построенном в доказательстве теоремы I, матрица оператора жорданова и состоит из клеток Жордана с нулем на диагонали, то все собственные значения оператора равны нулю. Поэтому матрица содержит лишь клетки Жордана с элементом 0 на диагонали, т.е.

Очевидно, ранг матрицы равен . Так как ранг линейного оператора совпадает с рангом его матрицы, то . Отсюда

. Заметим, что дефект нильпотентного оператора равен максимальному числу линейно независимых собственных векторов этого оператора.

Далее, непосредственные вычисления показывают, что

Если теперь - максимальный порядок клеток Жордана матрицы , то . В силу равносильности равенств и получаем, что совпадает с индексом нильпотентности оператора . Следовательно, матрица подобна

Очевидно, .

Тогда для

Если , то .

Значит,

и т.д.

Равенства и доказывают утверждение 2 и вместе с ним теорему.

Следствие. Жорданова нормальная форма матрицы нильпотентного оператора определена однозначно с точностью до порядка следования диагональных клеток.

Обратимся к примеру, рассмотренному выше.

Так как индекс нильпотентности равен , то жорданова нормальная форма матрицы содержит по меньшей мере одну клетку Жордана порядка . В силу того, что порядок матрицы равен , такая клетка будет точно одна. Следовательно, будет содержать еще одну клетку порядка I, т.е.

Если заранее известно, что - матрица нильпотентного оператора (критерий нильпотентности оператора будет получен ниже) и неизвестен индекс нильпотентности, то можно использовать в решении утверждения I и 2 теоремы 2. В нашем случае имеем: число всех диагональных клеток матрицы равно . Число диагональных клеток первого порядка равно:

Следовательно, будет содержать еще одну клетку порядка 3, так как порядок матрицы равен 4.

Замечание. Для , достаточно знать количество клеток Жордана в жордановой нормальной форме, для этого недостаточно только в случае, если количество клеток равно 2. В этой ситуации достаточно выяснить или нет: если , то жорданова нормальная форма состоит из двух клеток второго порядка, если , то жорданова нормальная форма состоит из одной клетки первого порядка и одной — третьего.

§ 3. Существование канонического базиса относительно произвольного линейного оператора.

Пусть — линейный оператор -мерного линейного пространства над полем , а — полином над этим полем. Если , то — называется аннулирующим линейный оператор полиномом. Покажем, что существует аннулирующий оператор ненулевой полином. Так как пространство всех линейных операторов пространства имеет размерность , то система линейна зависима. Поэтому для некоторых элементов поля , не все из которых равны нулю

Тогда полином является ненулевым аннулирующим оператор полиномом.

Например, характеристический полином линейного оператора, как будет показано ниже, является аннулирующим этот оператор полиномом (т. Гамильтона-Кэли).

Теорема 3. Пусть аннулирующий полином разлагается в произведение попарно взаимно простых множителей

Тогда

Доказательство проведем для случая . В общем случае теорема доказывается аналогично.

В силу взаимной простоты полиномов и существуют в такие полиномы и , что

Тогда (1)

Далее, для любого в силу (1) имеет место равенство

Покажем, что

В самом деле,

Аналогично .

Тем самым доказано равенство

Если теперь , то , и, следовательно, .

Теорема доказана.

Замечание. Легко убедиться, что подпространства инвариантны относительно и ограничение на является нулевым оператором.

Пусть теперь аннулирующий полином имеет вид

(2)

где при . Тогда по предыдущей теореме

Как отмечено выше, подпространства инвариантны относительно и ограничение на является нулевым оператором, т.е. ограничение на — нильпотентно . В каждом ненулевом пространстве согласно теореме I можно выбрать канонический базис относительно ограничения на , в котором матрица этого ограничения имеет вид

В этом же базисе матрица ограничения на будет равна . Матрица линейного оператора в базисе, который получается объединением всех канонических базисов, построенных в ненулевых подпространствах

, приобретает вид .

Тем самым теорема доказана.

Теорема 4. Относительно любого линейного оператора пространства , аннулирующий полином которого имеет вид (2) (в частности, для любого линейного оператора конечномерного комплексного пространства) существует канонический базис.

§ 4. Минимальный полином. Теорема Гамильтона-Кэли.

Пусть линейный оператор пространства . Полином наименьшей степени среди аннулирующих полиномов., старший коэффициент которого равен I, называется минимальным полиномом линейного оператора .

Пусть — минимальный полином . Покажем, что полином аннулирует тогда и только тогда, когда он делится на .

Представим в виде

где — остаток от деления на . Тогда

(I)

Так как , то из равенства (I) следует . Поэтому . Необходимость доказана.

Достаточность очевидна.

Отсюда следует, что минимальный полином линейного оператора определен однозначно.

В самом деле, если и - минимальные полиномы линейного оператора, то в силу только что доказанного свойства они делят друг друга и, значит, совпадают.

Приведем определение минимального полинома матрицы.

Пусть - квадратная матрица над полем . . Если , то называется полиномом, аннулирующим матрицу . Равенства и равносильны, если — линейный оператор с матрицей в некотором базисе. Поэтому существуют ненулевые полиномы, аннулирующие матрицу . Выберем среди них полином наименьшей степени со старшим коэффициентом I. Такой полином называется минимальным полиномом матрицы . Так как множество полиномов, аннулирующих матрицу , совпадает с множеством полиномов, аннулирующих , то минимальный полином линейного оператора совпадает с минимальным полиномом его матрицы. Следовательно, минимальный полином матрицы обладает теми же свойствами, что и минимальный полином линейного оператора, а также минимальные полиномы подобных матриц равны.