Квазидиагональная матрица

,

на диагонали которой расположены клетки Жордана, называется жордановой матрицей. При этом не предполагается, что элементы обязательно различны.

В частности, всякая диагональная матрица является жордановой матрицей.

Пусть теперь -мерное линейное пространство над полем - линейный оператор пространства . Базис пространства , в котором матрица линейного оператора является жордановой, назовем каноническим или жордановым относительно .

Требуется найти необходимое и достаточное условие существования и указать способ построения канонического базиса, а также выяснить, какова матрица линейного оператора в построенном каноническом базисе.

Пусть - квадратная матрица над полем . Жорданову матрицу, подобную матрице , назовем ее жордановой нормальной формой. Как известно, матрицы подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора векторного пространства (в соответствующих базисах). Поэтому на “матричном” языке наша задача формулируется так:

Найти необходимое и достаточное условие существования и указать способ построения жордановой нормальной формы данной матрицы.

Решение поставленной задачи проведем в два этапа. Сначала укажем способ построения канонического базиса для случая специального класса линейных операторов, называемых нильпотентными, затем сведем общий случай к изученному.

§ 2. Построение канонического базиса для случая нильпотентного линейного оператора.

Линейный оператор пространства называется нильпотентным, если при некотором натуральном выполняется равенство . Наименьшее натуральное число такое, что , называется индексом нильпотентности оператора .

Пусть теперь — нильпотентный оператор индекса нильпотентности и для любого . В частности, . Очевидно, . Покажем, что . Начнем с доказательства неравенства . Пусть . Тогда и, значит, , что противоречит выбору . Если теперь , то легко проверить, что

.

Следовательно, справедливы следующие строгие включения

.

В построении канонического базиса относительно нильпотентного оператора основную роль играет

Лемма. Если векторы дополняют базис подпространства до базиса , то существуют в подпространстве такие векторы , что система дополняет любой базис до базиса .

Доказательство. Пусть — базис .

Покажем, что система

(1)

линейно независима. Если

, (2)

то

, т.е. или

.

Значит, . Если - базис , то

.

.

Отсюда следует в силу того, что - базис . А тогда из равенства (2) следует , ибо - базис . Так как (1) — линейно независимая система векторов подпространства , то ее можно дополнить векторами до базиса . Очевидно, векторы - искомые.

Теорема 1. Существует канонический базис относительно нильпотентного оператора.

Доказательство. Пусть — нильпотентный оператор -мерного линейного пространства над полем , — индекс нильпотентности , векторы дополняют базис до базиса . Тогда по лемме существуют в такие векторы , что система дополняет любой базис до базиса . По той же причине существуют в такие векторы

, что система дополняет базис до базиса .

Переходя таким образом к подпространствам мы получим систему векторов пространства , которую запишем в виде следующей таблицы:

,

,

, (2)

………………………………………………………………..

Покажем, что (2) — базис . В последней строке таблицы по построению выписаны векторы, дополняющие базис до базиса , т.е. выписан базис . Следовательно, в двух последних строках выписан базис , в трех последних — базис , …, векторы, выписанные во всех строках кроме первой, составляют базис , и, значит, все векторы таблицы (2) составляют базис .

Отметим, что линейная оболочка векторов каждого столбца таблицы является инвариантным относительно подпространством. Докажем это для векторов первого столбца. Пусть

.

Тогда

.

Для других столбцов доказательство аналогично и предоставляется читателю.

Очевидно, все пространство есть прямая сумма указанных подпространств. Поэтому матрица в базисе

,

………………………

,

…………………………………….. (3)

…………………………………….

является квазидиагональной и на ее диагонали стоят, как нетрудно проверить, клетки Жордана вида

.

Порядок клетки равен размерности соответствующего инвариантного подпространства, т.е. числу векторов соответствующих столбца таблицы (2) или строки таблицы (3).

Следовательно, (3) — канонический базис относительно .

Теорема доказана.