Вариационная производная

Для интегральных функционалов, которые являются очень важным для математики и приложений случаем, можно ввести не только аналог дифференциала и производную по направлению, но и производную Фреше — аналог конечномерного градиента, называемую вариационной производной.

То есть, в полной аналогии с конечномерным случаем, когда

, где — обозначение градиента (или производной Фреше) функции , а — скалярное произведение; — оператор частной производной по -той координате, сумма представляет собой полный дифференциал.

Для функционала имеем

, где — обозначение вариационной производной , а суммирование конечномерной формулы естественно заменено интегрированием.

Итак, — стандартное обозначение вариационной производной. Это также некая функция как от , так и (вообще говоря, это обобщённая функция, но эта оговорка выходит за рамки рассмотрения, так как предполагается, что все функции и функционалы сколь угодно гладки и не имеют особенностей).

Иными словами, если можно представить вариацию

в виде

, где — некоторая функция , то есть вариационная производная по («по » здесь означает, что остальные аргументы или параметры не меняются; речевой оборот «по » можно опустить в случае, когда точно определено, функционалом от какой функции рассматривается , что на практике может быть не ясным из самой его формулы, в которую могут входить и другие параметры и функции — см. также ниже). То есть