Вариации и вариационные производные второго и высших порядков

Как это описано выше для первого порядка, можно ввести понятие второй вариации и второй вариационной производной функционала, а также -ой вариации и -ой вариационной производной:

Для функционалов, зависящих от нескольких функций, можно также ввести понятие смешанных вариационных производных разного порядка, например:

Здесь мы не будем останавливаться на этом подробно, всё делается полностью аналогично введению соответствующих дифференциалов и производных для функции конечномерного аргумента.

Функционал вблизи конкретной точки в пространстве функций раскладывается в ряд Тейлора, если, конечно, вариационные производные всех порядков существуют. Как и в конечномерных случаях, сумма конечного числа членов этого ряда даёт значение функционала с определённой точностью (соответствующего порядка малости) лишь при небольших отклонениях его аргумента (при бесконечно малых). Кроме того, как и в случае функций конечномерного аргумента, ряд Тейлора (сумма всех членов) может не сходиться к функционалу, в него разложенному, при любых ненулевых конечных смещениях, хотя такие случаи достаточно редки в приложениях.