Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд:

(1)

Числа - коефіцієнти біля невідо-

мих , а - вільні члени.

Розв’язком системи (1) називається сукупність чисел яка при підстановці її в систему перетворює всі рівняння в правильні рівності (тотожності).

Якщо число рівнянь дорівнює числу невідомих то для розв’язування системи рівнянь можна використати:

а) правило Крамера. Якщо основний визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими (визначник складений із коефіцієнтів, що стоять біля невідомих) не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

де -допоміжний визначник, який одержується з основного визначника шляхом заміни його стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

б) матричний метод. У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так . Звідси розв’язок: .

Для довільних систем, лінійних алгебраїчних рівнянь використовують методи Гаусса, Жордана –Гаусса.

в) метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь системи і зведенні її до трикутного чи трапецевидного вигляду.

г) метод Жордана - Гаусса полягає в повному послідовному виключенні невідомих. При цьому коефіцієнти утворять при основних (базисних) невідомих одиничну матрицю.

4. Елементи аналітичної геометрії і векторної алгебри.

Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу з спільною точкою початку відліку О і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову систему координат на площині.

Точка на площині задається впорядкованою парою чисел (х,у), які називають координатами.

Віддаль d між точками А (x₁, y₁) іB (x₂, y₂) обчислюється за формулою: d = .

Координати точки С (x, y), яка ділить відрізок АВ у відношенні АС:СВ=l, знаходяться за формулами: .

В просторі три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу,Оz з спільною точкою відліку О і однаковою масштабною одиницею утворюють декартову систему координат.Точка в просторі задається впорядкованою трійкою чисел – координатами (х,у,z).

Направлений відрізок , де точка А точка початку,а В точка кінця називається вектором.

Вектор позначається або двома великими буквами з стрілкою над ними ,або одною малою буквою . Довжину вектора називають модулем і позначають або .

Вектор на площині задають двома числами його координатами: ,де , , які є проекціями вектора відповідно на осі Ох та Оу. Вектор в просторі задають трьома координатами: .

Сумою(різницею) двох векторів і називають вектор .

Скалярним добутком векторів і називають вектор , де - кут між векторами.

Якщо вектори задані своїми координатами, то

Кут між векторами обчислюється за формулою:

cosj =

Умова паралельності векторів: .

Умова перпендикулярності векторів:

5. П ряма на площині

1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: y = kx + b, де ( - кут нахилу прямої до додатнього напряму осі , b - довжина відрізка, який пряма відтинає на осі Oy.

2. Рівняння в’язки прямих, що проходять через точку

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

4. Рівняння прямої у відрізках на осях: де - відрізки, які пряма відсікає на осях координат.

5.Загальне рівняння прямої: Ax + By + C = 0.

Кут , відрахований проти годинникової стрілки від прямої

до прямої знаходиться за формулою:

.

Умова паралельності цих прямих:

Умова перпендикулярності:

Віддаль точки від прямої обчислюємо за формулою: