2015-09-06
199
Начальные условия.
При использовании разностной схемы для нахождения значений функции на временном слое с номером 1, требуются значения функций 
с фиктивного слоя k = – 1, на котором они не определены. В этом случае поступают следующим образом.
Заменим в начальном условии 
, производную по времени ut разностным аналогом с первым порядком точности
. (2.4)
Исключая из (2.4) и (2.3), записанного для k =0, величину , получим уравнение для нахождения значения функции на первом временном слое:
(2.5)
Значения функции на нулевом временном слое известны из начальных условий:
.
Граничные условия.
Реализация граничных условий первого рода не составляет труда:
; 
(2.6)
При реализации граничных условий второго рода производные в точке 
и в точке 
заменяют конечно-разностным аналогом со вторым порядком точности:
; 
.
Выражая отсюда 
, 
и подставляя в уравнения (2.3) и (2.5), записанных, соответственно, для i =0 и i = N получим следующие уравнения для нахождения значения функции в крайней левой и крайней правой точках области:
|
|
|
на первом временном слое
; (2.7)
; (2.8)
на последующих временных слоях (
)
; (2.9)
. (2.10)
При реализации граничных условий третьего рода их разностные аналоги принимают вид:
; 
.
Тогда из уравнения (2.3) и (2.6) получаем
на первом временном слое
; (2.11)
; (2.12)
на последующих временных слоях ()
; (2.13)
. (2.14)
Для граничных условий третьего рода условие устойчивости имеет вид:
.
