Записанного в цилиндрической системе координат

1 2 3 4 5 6

Рассмотрим следующее гиперболическое уравнение, записанное в цилиндрической системе координат:

(2.15)

При построении разностной схемы будем использовать следующий шаблон (рис.6):

Рис.6.

Производная по времени записывается также как и п.2.1, а производная по пространству:

Здесь .

Тогда разностная схема для уравнения (2.15) будет иметь вид:

На первом шаге по времени: (k =0)

Граничные условия реализуются по аналогии с п.2.2, за исключением того случая, когда левая граница есть центр симметрии, т.е. . На такой границе должно быть задано условие симметрии: . Для нахождения решения на верхнем временном слое в узле i = 0, уравнение (1.11) нельзя применять, как это делалось в п.1.2 с уравнением (1.2), поскольку в данном случае существует особенность при .

Для устранения этой особенности перепишем уравнение (1.10) в виде . Устремляя к нулю и раскрывая по Лопиталю неопределенность , получим следующее уравнение в точке :

(2.16)

Записывая разностную схему для (2.16) и для граничного условия , получим следующее уравнения для нахождения функции на верхнем временном слое в узле i = 0: