Построение разностной схемы

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Требуется найти решение гиперболического уравнения

, (2.1)

на отрезке [ a, b ] в течение промежутка времени при следующих начальных и краевых условиях.

Известно, что в начальный момент времени t =0 задано распределение функции и известна скорость изменения функции , а на границах отрезка задано одно из условий:

	x=a	x=b
1)
2)
3)

Требуется найти решение на отрезке в течение промежутка времени .

Как видно из уравнения (2.1), его решение зависит от двух переменных t – времени и x – пространства. Выбор системы координат и построение разностной сетки сделаем так же, как и в п.1.1.

Запишем конечно-разностную схему для уравнения (2.1), используя для производных по времени и пространству следующий шаблон (рис.5).

Рис.5.

Разностные аналоги имеют следующий вид:

; ;

Известную функцию f (x,t) в момент времени t_k и в точке пространства x_k обозначим как .

Тогда разностная схема для уравнения (2.1) запишется в виде:

(2.2)

В этом уравнении искомой величиной является значение функции в точке x_i в момент времени t_{k +1}.

Введем число Куранта и перепишем уравнение (2.2) в виде:

(2.3)

Как видно из уравнения (2.3) для нахождения значения функции в узле i на k + 1-ом временном слое, необходимо знать значения функции в трех узлах (i – 1, i, i + 1) на k -ом временном слое и одно значение в узле i на k – 1-ом временном слое.

Полученная явная разностная схема (2.3) обладает первым порядком аппроксимации по времени и вторым порядком по пространству . Условие устойчивости разностной схемы: r 1.