РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Требуется найти решение гиперболического уравнения
, (2.1)
на отрезке [ a, b ] в течение промежутка времени при следующих начальных и краевых условиях.
Известно, что в начальный момент времени t =0 задано распределение функции и известна скорость изменения функции , а на границах отрезка задано одно из условий:
x=a | x=b | |
1) | ||
2) | ||
3) |
Требуется найти решение на отрезке в течение промежутка времени .
Как видно из уравнения (2.1), его решение зависит от двух переменных t – времени и x – пространства. Выбор системы координат и построение разностной сетки сделаем так же, как и в п.1.1.
Запишем конечно-разностную схему для уравнения (2.1), используя для производных по времени и пространству следующий шаблон (рис.5).
Рис.5.
Разностные аналоги имеют следующий вид:
; ;
Известную функцию f (x,t) в момент времени tk и в точке пространства xk обозначим как .
Тогда разностная схема для уравнения (2.1) запишется в виде:
|
|
(2.2)
В этом уравнении искомой величиной является значение функции в точке xi в момент времени tk +1.
Введем число Куранта и перепишем уравнение (2.2) в виде:
(2.3)
Как видно из уравнения (2.3) для нахождения значения функции в узле i на k + 1-ом временном слое, необходимо знать значения функции в трех узлах (i – 1, i, i + 1) на k -ом временном слое и одно значение в узле i на k – 1-ом временном слое.
Полученная явная разностная схема (2.3) обладает первым порядком аппроксимации по времени и вторым порядком по пространству . Условие устойчивости разностной схемы: r 1.