Решить задачу об определении напряженно-деформированного состояния упругого тела.
7.1. Определить перемещения, деформации и напряжения, возникающие в полом круговом цилиндре бесконечной длины, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R 1 и R 2.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль его радиуса; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= u (ρ) e ρ. Массовая сила (сила инерции) записывается в виде K = w2 ρ e ρ.
7.2. Полый круговой цилиндр со свободными торцами и с закрепленной наружной боковой поверхностью скручивается касательными усилиями τ, равномерно распределенными по внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра, а также скручивающее касательное напряжение на закрепленной поверхности.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль боковой поверхности; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= v (ρ) e φ.
7.3. В неограниченной упругой среде имеется сферическая полость, заполненная газом под давлением p. Радиус полости равен R. Определить деформацию и напряжения в упругой среде. Перемещения точек среды на бесконечности принять равным нулю.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.4. Полый круговой цилиндр бесконечной длины нагружен вдоль внутренней и наружной поверхностей касательными напряжениями постоянной интенсивности так, что
τρz|ρ=a = τ0; τρz|ρ=b = a/b τ0.
Здесь a,b - внутренний и внешний радиусы цилиндра соответственно. Найти распределение перемещений и касательных напряжений в цилиндре.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: uρ=u(ρ) и uz=w(ρ); вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= u(ρ) e ρ+ w(ρ) e z. Воспользоваться решением задач 3.7, 3.8, раздел 5 [1].
7.5. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной внутренней боковой поверхностью нагружен осевыми касательными усилиями τ, равномерно распределенными по наружной поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Найти напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: uρ и uz; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= u(ρ) e ρ+ w(ρ) e z. Воспользоваться решением задачи 3.7, раздел 5 [1].
7.6. Определить напряженно-деформированное состояние сплошного упругого шара радиуса а под влиянием собственного гравитационного поля (k = - g R / a), считая, что поверхность шара свободна от напряжений. Найти области сжатия и растяжения радиальных волокон.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.3, раздел 5 [1].
7.7. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной внутренней поверхностью находится в поле сил тяжести. Ось цилиндра вертикальна. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра. Найти осевое смещение точек наружной поверхности, а также касательное напряжение на закрепленной поверхности.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.11, раздел 5 [1].
7.8. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого цилиндра бесконечной длины, находящегося под действием равномерного внутреннего давления p 1 (внешнее давление p 2=0). Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R 1 и R 2. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].
7.9. Определить напряженно-деформированное состояние упругого шара радиуса a, если заданы перемещения точек его поверхности u (a)= u * e R. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.10. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого шара, если известны равномерное давление p на внутренней поверхности и радиальное смещение u * точек внешней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.11. Полый круговой цилиндр со свободными торцами и с закрепленной внутренней боковой поверхностью скручивается касательными усилиями τ, равномерно распределенными по наружной поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Определить напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль боковой поверхности; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= v (ρ) e φ.
7.12. В неограниченной упругой среде имеется сферическая полость. Радиус полости равен a. Задано радиальное смещение u * точек поверхности полости. Определить деформацию и напряжения в упругой среде. Перемещения точек среды на бесконечности принять равным нулю.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.13. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого шара, если известны равномерное давление p на внешней поверхности и радиальное смещение u * точек внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.14. В неограниченной упругой среде имеется цилиндрический канал бесконечной длины, на поверхности которого поддерживается постоянное давление p. Радиус канала равен R. Определить напряженно-деформированное состояние упругой среды, считая, что σρ=0|ρ→∞.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].
7.15. Определить напряженно-деформированное состояние упругого шара радиуса a, находящегося под действием равномерного внешнего давления p. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи в п.6.8, [4].
7.16. Определить напряженно-деформированное состояние упругого полого цилиндра бесконечной длины, находящегося под действием равномерного внешнего давления p 2 (внутреннее давление p 1=0). Внутренний и внешний радиусы цилиндра равны соответственно R 1 и R 2. Влиянием массовых сил пренебречь.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.1, раздел 5 [1].
7.17. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной поверхностью находится в поле сил тяжести. Ось цилиндра вертикальна. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Определить деформацию цилиндра. Найти напряженно-деформированное состояние, а также распределение касательных напряжений на закрепленной поверхности и перемещения свободной поверхности.
Указание: воспользоваться решением задачи 3.11, раздел 5 [1].
7.18. Определить напряжения, возникающие в сплошном круговом цилиндре бесконечной длины, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Радиус цилиндра равен R.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра направлены вдоль его радиуса; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= u (ρ) e ρ. Массовая сила (сила инерции) записывается в виде K = w2 ρ e ρ.
7.19. Полый круговой цилиндр бесконечной длины с закрепленной наружной боковой поверхностью нагружен осевыми касательными усилиями τ, равномерно распределенными по внутренней поверхности. Внутренний и внешний радиусы равны соответственно R 1 и R 2. Определить напряженно-деформированное состояние цилиндра, а также распределение касательных напряжений на наружной поверхности и перемещения внутренней поверхности.
Указание: принять, что перемещения точек цилиндра имеют две составляющих: uρ и uz; вектор перемещений имеет вид u = u (ρ)= u(ρ) e ρ+ w(ρ) e z. Воспользоваться решением задачи 3.7, раздел 5 [1].
Литература
1. Ильюшин А.А. Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. – М.: МГУ, 1979.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1975.
3. Модели сплошных сред в задачах и упражнениях: Учебное пособие/ Л.Ф.Лобанова, В.М.Закалюкин и др. – М.: Изд-во МАИ, 1987.
4. Савинов Ю.Г. Механика сплошных сред: Вводный курс: Тексты лекций. М.: Изд-во МАИ, 1993.
5. Теория деформаций и напряжений в задачах и упражнениях: Учебное пособие/ В.М.Закалюкин, Е.Б.Кузнецов, Л.Ф.Лобанова, и др. – М.: Изд-во МАИ, 1980.