Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник. Теорема

Диференцiальне рівняння

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1)

називають рiвнянням у повних диференцiалах, якщо йоголiва частина є повним диференцiалом деякої функцiї U(x, y),тобто

M(x, y)dx + N(x, y)dy = dU(x, y). (2)

З (1), (2) випливає, що рiвняння (1) можна записатиу виглядi dU = 0, а тому загальним iнтегралом рiвняння уповних диференцiалах є U(x, y) = C.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо