Теорема про неперервну залежність розв’язку від параметра та початкових даних

Теорема (про неперервну залежнiсть розв’язкiввiд параметру). Якщо права частина диференцiального рiвняння

y^l= f(x, y, μ) неперервна за змiнною μ, μ ∈ [μ1, μ2], i для кожногофiксованого μ задовольняє умови теореми 2 з тими самими сталимиa, b, L, M, то розв’язок

y = y(x, μ) рiвняння (6.11), який задовольняє початкову умову y(x0) = y0, неперервно залежитьвiд μ.

Теорема (про неперервну залежнiсть вiд початкових умов). Нехай виконанi умови теореми 2. Тодi розв’язокзадачi Кошi

y = y(x, x0, y0) неперервно залежить

вiд початкових умов.

Особливі точки та лінії для рівняння y'=f(x, y).

Якщо в околі точки (x₀, y₀) площині для рівняння y'=f(x,y) виконуються умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші (безперервність f(x, y) і f'_y (x, y)), то через цю точку проходить єдина інтегральна крива. Якщо ці умови порушуються, точку (x₀, y₀) називають особливою точкою диференціального рівняння. Через особливу точку може не проходити жодної інтегральної кривої (тобто задача y'=f(x, y), y (x₀) = y₀ не має рішення); може проходила одна інтегральна крива; може проходити декілька інтегральних кривих. Особливі точки можуть утворити криву, яка сама є інтегральною кривою рівняння. Рішення рівняння, в кожній точці якого порушується його єдиність, називають особливим рішенням. Для прикладу розглянемо рівняння y'=3y^2/3. Тут f(x,y)=3y^2/3 - неперервна в будь-якій точці (x,y), але - не має кінцевого межі при, тобто в будь-якій точці (x,y) при y=0 порушується умова існування безперервної похідної. Отже, будь-яка точка (x,0) є особливою точкою рівняння. Пряма y=0, очевидно, інтегральна крива рівняння (функція y=0 задовольняє рівнянню). Знайдемо спільне рішення цього рівняння: