Рівняння Бернуллі та Ріккаті

Рівняння вигляду y^l + p(x)y = q(x) y^m, (1)

де m – деяке число, називають рівнянням Бернуллі. Якщо m = 0, то одержуємо лінійне неоднорідне рівняння, а якщо

m = 1, то рівняння з відокремлюваними змінними y^l + (p(x) − q(x))y = 0, тому надалі вважатимемо, що m ≠ 0, m ≠ 1.

Для розв’язування рівняння Бернуллі, так само, як лінійного рівняння, використаємо метод варіації довільної сталої.

Зінтегруємо спочатку рівняння

y^l + p(x)y = 0. Його загальний розв’язок подається формулою: y = Ce^−p(x)dx.

Розв’язок рівняння Бернуллі шукаємо у вигляді y = C(x)e^−∫p(x)dx, (2)

де C(x) – деяка функція. Підставляючи (2) у рівняння (1), одержуємо

C^l(x)e^−∫p(x)dx − C(x)p(x)e−∫p(x)dx +

p(x)C(x)e−p(x)dx = q(x)Cm(x)e−m∫p(x)dx⇒

Cl(x) = q(x)Cm(x)e(1−m)∫p(x)dx⇒

Підставляючи знайдену функцію C(x) в (2), одержуємо загальний розв’язок рівняння Бернуллі:

y=

При цьому міг бути втрачений розв’язок y = 0, якщо m > 0.

Якщо 0 < m < 1, то цей розв’язок буде особливим, а якщоm > 1, то частинним. Для m ≤ 0 функція y = 0 не є розв’язкомрівняння Бернуллі.

Рівняння Ріккаті - Звичайне диференціальне рівняння першого порядку виду

Рівнянням Ріккаті називають також багатовимірний аналог (*), тобто систему звичайних диференціальних рівнянь з незалежними змінними праві частини яких є многочленами другого ступеня від змінних із залежними від t коефіцієнтами. Одномірні і багатомірні рівняння Ріккаті знаходять застосування в різних областях математики: алгебраїчної геометрії, теорії цілком інтегровних гамільтонових систем, варіаційному численні, теорії конформних відображень, квантової теорії поля.