Диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв.Загальні поняття

Звичайне диференціальне рівняння n -го порядку

F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾)=0 [1].

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно старшої похідної, то його записуватимемо у вигляді

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)) [2].

Функцію y=y(x), яка визначена і неперервно диференційована n разів на інтервалі (a,b) називають розв’язком рівняння на цьому інтервалі, якщо вона для всіх x (a,b) перетворює це рівняння у тотожність.

Для n=2:

{y'’=f(x, y, y’)

{y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀

З геометричної точки розв'язок диф. рівняння означає, що треба знайти інтегральну криву, яка проходить через точку з координатами (x₀; y₀) і напрямок дотичної до цієї кривої в цій точці дорівнює y₀.

Задача Коші. Теорема про існування та єдність розв’язку задачі Коші.

Якщо функцiя f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)) у рівнянні y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)) [1]

1) неперервна за всiма аргументами у деякому околi точки

2) має обмеженi частиннi похiднi за змiнними y,y’,…,y⁽ⁿ^-1) в околi точки (x₀,y₀,y’₀,…,y₀⁽ⁿ^-1)),

то iснує єдиний розв’язок задачi Кошi який визначений i неперервний разом з похiдними до порядку n включно на деякому вiдрiзку |x − x0| ≤ h. Загальним розв’язком рiвняння [1] називають сiм’ю розв’язкiв цього рiвняння, залежну вiд n довiльних сталих: y=ϕ(x,C₁,C₂,...,C_n). Загальний розв’язок рiвняння (7.2) у неявному вигляді ϕ(x,y,C₁,...,C_n)=0 називають загальним інтегралом цього рiвняння. У деяких випадках, iнтегруючи рiвняння [1], шукають сiм’ю iнтегральних кривих, яка залежить від n довiльних сталих C₁,C₂,...,C_n, у параметричному виглядi:

[система уравнений]

x = ϕ(p, C1, C2,..., Cn),

y = ψ(p, C1, C2,..., Cn).

Таку сiм’ю iнтегральних кривих називають загальним розв’язком у параметричнiй формi. Розв’язок y = y(x) рiвняння [1] називають частинним, якщо його можна одержати з формули загального розв’язку

при певних числових значеннях сталих C₁,C₂,...,C_n. Розв’язок, який не можна одержати з загального розв’язку при жодних значеннях сталих C₁,C₂,...,C_n, називають особливим. Диференцiальне рiвняння n -го порядку може мати сiм’ю особливих розв’язкiв, залежну вiд довiльних сталих, кiлькiсть яких може бути n−1. Для рівняння y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y⁽ⁿ^-1)) задача Коші формулюється так: серед усiх розв’язкiв цього рiвняння знайти такий розв’язок y=y(x) який для x = x₀ задовольняє умови

y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y’₀, y₀⁽ⁿ^-1)(x₀)= y⁽ⁿ^-1) [3],

де y₀,y’₀,…,y₀⁽ⁿ^-1) – задані початкові дані розв’язку y=y(x). Число x₀ називають початковим значенням незалежної змінної x, сукупність чисел x₀,y’₀,…, y₀⁽ⁿ^-1)- початковими даними рівняння [2], а умови – початковими умовами [3]. Для рiвняння другого порядку y’’=f(x,y,y’) задача Кошi полягає у знаходженнi розв’язку y=y(x) цього