Лінійні рівняння n-го порядку. Основні поняття та означення

Основнi означення й поняття. У багатьох прикладних задачах як самi функцiї, що вивчаються, так i їх похiднi набувають настiльки малих значень, що їх квадратами, кубами i вищими степенями можна знехтувати. Це дозволяє замiнити довiльнi залежностi мiж величинами залежностями лiнiйними. Застосовуючи зазначену операцiю лiнеаризацiї до диференцi-

альних рiвнянь, що описують певний процес чи явище, одержують диференцiальнi рiвняння, в якi шукана функцiя та її похiднi входять лiнiйно. Такi рiвняння називають лiнiйними.Лiнiйним диференцiальним рiвнянням n-го порядку називають рiвняння вигляду

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=f(x). [1]

Вважатимемо, що функцiї p₁(x), p₂(x),…, p_n(x) (коефеціенти рівняння) i права частина f(x) неперервнi на деякому iнтервалi (a,b). Якщо f(x) ≡ 0 на iнтервалi (a,b) то рiвняння [1] називають лiнiйним однорiдним. Воно має вигляд

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=0.

Якщо функцiя f(x) тотожно вiдмiнна вiд нуля на iнтервалi (a,b) то рiвняння [1] називають лiнiйним неоднорiдним.

Властивості рівнянь при зміні залежної та незалежної змінних.

y(x0)=y₀, y'(x₀)=y'₀, ...,y^(n-1)(x₀) = y^(n-1)₀ [1]

1) Лінійність і однорідність рівняння [1] зберігається при довільній заміні незалежних зміних, тобто при заміні змінної х= ϕ(t), де ϕ (t) - непер. на [x1, x2] має неперервні частинні похідні до н-го порядку, ϕ’(t)!=0 на [x1, x2].

2) Лінійність і однорідність р-ння [1] зберігається при лінійному однорідному перетворенні залежної функції.Тобто при заміні вигляду: y=Alfa(x)*z(x), z(x) - нова невідома функція, Alfa(x) - відома функція (неперервна і має непер. частинні похідні н-го на [t1, t2])

y^(k)=(d^ky)/(dx^k)