Загальний розв'язок лінійного однорідного диф. рівняння n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків

Лінійним однорідним диф. рівнянням n-го порядку називається рівняння виду:

Функція y=f(x, c₁, c₂,…c_n), що залежить від nдовільних сталих називається розв’язком рівняння (1),якщо:

1) ця функція є розв’язком рівняння (1) при будь-яких значеннях сталих (але можливі певні обмеження)

2) для будь-яких початкових даних знайдуться такі значення сталих с*₁, с*₂,…с*_n,що функція y=f(x, c*₁, c*₂,…c*_n) також буде розв’язком рівняння.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо y₁(x) – розв’язок, то y=cy₁(x), де с – довільна константа, теж розв’язок диференціального рівняння (1);

б) якщо y₁(x), y₂(x) – розв’язки диференціального рівняння (1), то

у= y₁(x)+y₂(x) теж розв’язок;

в) якщо y₁(x), y₂(x),...,y_n(x)– розв’язки диференціального рівняння (1), то їх лінійна комбінація також є розв’язком.

Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків.

Тобто достатньо щоб вронскіан був відмінний від нуля.

Теорема (про існування фундаментальної системи розв’язків). Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (1) є неперервними на (a,b), то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.