Основні поняття теорії стійкості

Нехай деяке явище описується системою:

(1)

t – незалежна змінна, аргумент y_1,…, y_nфункція з початковими умовами

t_0,y₁₀,…,y_{n0 –}(2) - початкові данні. Поч. данні знаходяться в результаті експериментів і мають похибку.

Якщо систему (1) розглядати на скiнченномупромiжку|t − t0| < T, то вiдповiдь на питання про вплив малих змiн початкових умов (2) на вiдхиленнярозв’язкiв системи дає

теорема Коші. Але у практичних задачах аргумент може необмежено зростати. Тодi теорема не гарантує неперервноїзалежностiрозв’язкiввiд початкових умов, тобто незначна змiна початкових умов може викликати iстотнiзмiни у поведiнцi розв’язку при необмеженомузростаннi значення аргумента. Отже, надалi вважатимемо,

щоt∈ [T, +∞), тобто час може необмежено зростати. Розв’язок yj = ϕj (t), j = 1, 2,..., n, t ∈ [T, +∞), системи (1) називають стiйким, якщо для будь-яких ε > 0 i t₀ ≥ Tiснує число δ = δ(ε) > 0 таке, що довiльнийiнший розв’язок

y_j= y_j (t), j = 1, 2,..., n, цiєї ж системи, початковi значення y_j (t₀) якого задовольняють нерiвностi|y_j (t₀) − ϕ_j (t₀)| < δ, j = 1, 2,..., n, (3)

визначений для всiх t≥ t₀ i справджуються нерiвностi

|y_j(t) − ϕ_j (t)| < ε, j = 1, 2,..., n, t ≥ t₀. (4). Iншими словами, розв’язок y_j = ϕ_j(t), j = 1, 2,..., n, системи (1) є стiйким, якщо кожний розв’язок y_j = y_j (t),j = 1, 2,..., n, системи (1) з початковими умовами з δ-околуточки ϕ_j (t₀), j = 1, 2,..., n, при t0≤ t < +∞ iснує i не виходить з ε-околу графiка розв’язку y_j = ϕ_j (t), j = 1, 2,..., n.

Розв’язок y_j = ϕ_j (t), j = 1, 2,..., n, називають асимптотичностiйким, якщо:

1) вiнстiйкий;

2) усi розв’язки y_j = y_j(t), j = 1, 2,..., n, системи (1) здостатньо близькими початковими умовами при t → +∞ необмежено наближаються до ϕ_j (t), j = 1, 2,..., n, тобто з нерiвностi (3) випливає, що

j=1,2,…,n. (5)