Система лінійних неоднорідних ДР. Властивості розв’язків

Розглянемо лiнiйнунеоднорiдну систему:

(1)

або (2)

Припустимо, щонамвiдомийдеякийчастиннийрозв’язокцiєїсистеми

y1 = y⁽¹⁾₁, y2 = y⁽¹⁾₂,..., yn = y⁽¹⁾_n

а отже, (3)

Введемоновiневiдомiфункцiї z1 = z1(x), z2 = z2(x),...,zn = zn(x) заформулами

y_k = y⁽¹⁾_k+ z_k, k = 1, 2,..., n. (4)

Пiдставляючифункцiї (4) в систему (1), одержуємо

(5)

Враховуючи (3), з (5) длязнаходженняфункцiй z1,z2,..., znотримуємолiнiйнуоднорiднусистему

(6)

Однорiдну систему (6) називають вiдповiдноюнеоднорiднiй системi (2).

Загальнийрозв’язоксистеми (6) визначається формулою

(7)

деz_jk = z_jk(x), j, k = 1, 2,..., n, – деякафундаментальнасистемарозв’язкiвсистеми (6), аCj, j = 1, 2,..., n, – довiльнiсталi.

Пiдставляючи (7) у (4), одержуємо, що

(8)

Формула (8) визначаєзагальнийрозв’язоксистеми (1) вусiй областiїїзадання.

Таким чином, для знаходженнязагальногорозв’язкунеоднорiдноїсистеми (1) достатньознайти будь-якийїїчастиннийрозв’язокiдодати до ньогозагальнийрозв’язок вiдповiдноїоднорiдноїсистеми (6).