2015-09-06
205
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: y''+py'+qy=f(x), где p и q – константы, а f(x) – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.Чтобы решить неоднородные уравнения необходимо уметь решить однородные уравнения. Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: 
Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: 
Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений). Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = Pm (x)e αx, где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения: Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид y1 = Qm (x)e αx, где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению. Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то y1 = xk Qm (x)e αx,
т. е. частное решение приобретает множитель xk.
