Невласні інтеграли залежні від параметру їх збіжність та рівномірна збіжність

(§ab) – інтеграл від a до b

f(xy) – визначена на Р {(x,y): a≤x≤∞, c≤y≤d} для будь якого у з проміжку [c,d] існуе §а∞(f(xy)dx) = I(y)

I(y) – називаеться невласним інтегралом першого роду залежний від параметру

I(y) – lim (а→∞) §aА(f(xy)dx)

· Невласний інтеграл I(y) збігається в т. у є [c,d]

для будь якої ε>0 існуе ∆>a → будь який х[a,∞), x>∆: | §∆∞(f(xy)dx) | ‹ε

· Невласний інтеграл I(y) збігається на проміжку [c,d] якщо збігаеться в кожній точці цього сегменту

· Невласний інтеграл I(y) рівномірно збігається на [c,d]

для будь якої ε>0 існуе ∆(ε)>а: існуе будь яка В>∆

Властивості рівномірно збіжних невласних інтегралів залежних від параметру

(§ab) – інтеграл від a до b

1.Неперервність –

нехай f(xy) неперервна в Р, §a∞(f(xy)dx) рівномірно збіжний на [c,d]

тоді §a∞(f(x,y)dx) = І(у) неперервний на [c,d]

2. §сd(I(y)dy) = §сd(dy) §a∞(f(x,y)dx) = §a∞(dx) §сd(f(x,y)dy)

Диференційованність I(y)

нехай f(x,y), f '(x,y) – неперервні в Р, §a∞(f '(xy)dx) – рівномірно збігаеться на [c,d], §a∞(f (xy)dx) – збігаеться на [c,d]

тоді d(I(y))/dy = (d/dy)*(§a∞(f (xy)dx)) = §a∞(f 'y(xy)dx)

Ейлерові інтеграли та їх властивості

(§ab) – інтеграл від a до b

Інтегралом Ейлера першого роду або бета-функцуею наз. ẞ(p,q)=§01((x^p-1)*((1-x)^q-1) dx

Якщо р‹1 – не власний інтеграл другого роду з особливою точкою х=0

Якщо q‹1 – не власний інтеграл другого роду з особливою точкою х=1

Властивості:

1. збігаеться при p,q>0

2.рівномірно збігаеться при p,q≥ p0,q0 – p0,q0 будь які додатні числа.

3. Уявляе собою функцію неперервно диференційовану будь яке число раз.

4.ẞ(p,q)=ẞ(q,p)

5.ẞ(p,q+1)=(q/(p+q))*ẞ(p,q)

6. ẞ(p,q+1)=(q/(p+q))*ẞ(p,q)

7. звязок з гамма функціями ẞ(p,q)=(Ґ(p)*Ґ(q))/(Ґ(p)+Ґ(q))

Інтегралом Ейлера другого роду або гамма-функціею наз.

Ґ(p)= §0∞((x^p-1)*(е^-х) dx, р-параметр

Невласний інтеграл першого роду з особливою точкою ∞

Якщо р‹1 – невласний інтеграл другого роду з особливою точкою х=0

Властивості:

1. Збігаеться при р>0

2. Рівномірно збігаеться при р≥будь якої р(р1,р2) р1,р2 – будь які додатні числа

3. функція неперервно диференційована будь яке число раз