Квантовые статистики

3 .8.1. Принцип тождественности микрочастиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули

При классическом рассмотрении распределения частиц по энергиям мы предполагали, что частицы могут отличаться друг от друга. Опыт, однако, этого не подтверждает. Поэтому в квантовой механике в качестве одного из основополагающих принципов принимается принцип тождественности (неразличимости) микрочастиц, согласно которому все микрочастицы одного и того же вида или сорта (все электроны, все атомы водорода в основном состоянии, все протоны, все нейтроны и т.д.) абсолютно одинаковы, или тождественны. Основанием для такого заключения является то, что все микрочастицы одного типа имеют одинаковую массу, заряд, спин и другие характеристики.

Кроме того, при классическом рассмотрении не учитывалось наличие у микрочастиц собственного момента импульса (не связанного с их движением в пространстве), называемого спином микрочастицы. Собственный механический момент (спин) микрочастицы квантуется по обычному правилу квантования момента импульса: | s | = Здесь s – так называемое спиновое квантовое число; оно может быть как целым, так и полуцелым. По обычному правилу квантуется и проекция собственного момента импульса на какое-либо направление, например, на направление оси z > 0: где – так называемое спиновое магнитное квантовое число. При заданном значении s это число может принимать все значения от – s до s, т.е. всего 2 s + 1 значение. Из опыта известно, что у электрона имеется два направления спина, т.е. 2 s + 1 = 2, откуда Следовательно, абсолютное значение спина электрона | s | а магнитное спиновое квантовое число Обычно за численное значение спина принимают не величину | s |, а спиновое квантовое число s, поэтому говорят, что спин электрона При этом об электронах, имеющих противоположные знаки магнитного квантового числа говорят как об электронах с прямо противоположными спинами.

В зависимости от того, какие значения принимает спиновое квантовое число s (спин), частицы подразделяют на бозоны и фермионы. Бозонами (по имени индийского физика Бозе) называют частицы, имеющие целые значения спина (s = 0, 1, 2, …), а фермионами (по имени итальянского физика Ферми) – частицы с полуцелым значением спина (). Помимо уже упомянутого электрона, фермионами являются также нуклоны (протоны и нейтроны); ядра атомов с нечетным числом нуклонов и др. Бозонами являются, например, фотоны (частицы света), ядра с четным числом нуклонов и др. Соответственно двум типам частиц – фермионам и бозонам – существует два типа распределения этих частиц по энергиям, называемых статистиками: распределение (статистика) Ферми – Дирака и распределение (статистика) Бозе – Эйнштейна. Отклонение идеального газа от классического поведения называется вырождением. Поэтому газ, подчиняющийся какой-либо из этих статистик, называют квантовым, или вырожденным газом.

Наличие спина у частиц и принцип тождественности приводят к дополнительным ограничениям на состояния системы одинаковых микрочастиц. Одним из возможных таких ограничений является принцип Паули. Рассмотрим этот принцип.

Пусть имеем простейшую систему, состоящую из двух частиц, и пусть q ₁ и q ₂ – набор параметров, характеризующих состояние первой и второй частиц соответственно. Если первая частица находится в состоянии q ₁, а вторая – в состоянии q ₂, то волновая функция, описывающая состояние системы этих двух частиц будет Если произвести обмен состояниями частиц, то получим новое возможное состояние системы, описываемое волновой функцией Принцип тождественности частиц утверждает, что это новое состояние неотличимо от прежнего, т.е. функции и описывают фактически одно и то же состояние системы. Такие волновые функции могут отличаться друг от друга лишь несущественным фазовым множителем (несущественным в том смысле, что при определении вероятности состояния, т.е. при нахождении квадрата модуля он исчезает – обращается в единицу). Поэтому для указанных функций состояния должно выполняться равенство

Произведем перестановку частиц повторно; тогда получим

откуда и тогда

Таким образом, при перестановке параметров состояния двух частиц волновая функция либо не изменяется, либо изменяет только знак. Функции первого типа называют симметричными, а второго – антисимметричными. Свойства симметрии функций состояний системы связаны с величиной спина частицы. Было установлено, что частицы с полуцелым спином (фермионы) описываются антисимметричными волновыми функциями, а частицы с целым спином (бозоны) – симметричными функциями.

Предположим теперь, что два фермиона оказались в одном и том же состоянии, т.е. имеют одинаковый набор параметров состояния Тогда получим откуда а значит, Это означает, что вероятность состояния, в котором два фермиона имеют одинаковый набор параметров состояния, равна нулю. Следовательно, в системе одинаковых фермионов в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. В этом утверждении и заключается смысл принципа Паули. Принцип Паули, однако, не запрещает нескольким (2 s + 1) фермионам находиться в одном и том же динамическом состоянии (состоянии, определяемом координатами и проекциями импульса частицы), если при этом значения спинового квантового числа у них различны. У электронов, например, спиновое квантовое число может принимать два значения, поэтому в одном квантовом состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами. Учитывая, что на каждое квантовое состояние приходится фазовая ячейка объемом , принцип Паули можно сформулировать и так: в фазовой ячейке объемом может находиться только один фермион.

Что касается бозонов, то для них принцип запрета Паули не действует, поэтому в одном квантовом состоянии может находиться неограниченное число бозонов. При этом, как показывается в квантовой механике, чем больше бозонов находится в каком-либо состоянии, тем больше вероятность оказаться в этом состоянии еще одному бозону.