Если результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса тела относительно этой же оси будет оставаться постоянным

В системе тел момент импульса системы относительно оси вращения будет оставаться постоянным, если момент внешних сил, действующих на систему, относительно оси вращения будет равен нулю.

2.8. Некоторые силы в механике

mg	- сила тяжести, g - ускорение свободного падения.
N	- реакция опоры, направленная перпендикулярно плоскости соприкосновения взаимодействующих тел.
Fтр = kN	- сила трения, направлена противоположно скорости движения или силе, стремящейся сдвинуть тело, k - коэффициент трения.
F = - kx	- сила упругости, k - коэффициент жесткости пружины, х – дефор­ма­ция пружины.
Fн	- сила натяжения нити или подвеса, численно равная весу тела.
P P = mg P =m(g+а) P = m(g-а)	- вес тела, сила с которой тело действует на опору или подвес. - опора покоится. - опора движется вверх с ускорением а. - опора движется вниз с ускорением а.

3. Работа и механическая энергия

3.1. Работа силы и мощность при поступательном и вращательном движениях

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Элементарной работой силы на малом перемещении называется величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt, a- угол между векторами и , =F×cosa - тангенциальная составляющая силы, равная проекции силы на направление перемещения .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А= , если = const, то А= S.

При вращательном движении считается, что работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=Мj.

Для характеристики быстроты совершения работы вводится мощность.

Мощностью называется скалярная величина N равная работе, совершаемой в единицу времени.

.

3.2. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния тела, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

; .

При сложном движении твёрдого тела, его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

где u_c - скорость поступательного движения тела (центра масс), J_c - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс, w - угловая скорость вращения тела.

Отметим свойства кинетической энергии.

Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К³ 0.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему: .

Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.3. Консервативные (потенциальные) силы

Консервативными (потенциальными) силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории тождественно равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, сила упругости и силы, определяющие фундаментальные взаимодействия.

3.4. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил, убыль которой равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1-Е_П2 = -DЕ_П = А_12конс, .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

, , .

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2) - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - величина деформации тела (пружины).

3.5. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

,

Если действуют только консервативные силы или работа неконсервативных сил равна нулю, то dE = 0 и Е = const, т.е. справедлив закон сохранения механической энергии: при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.

, Е_К+Е_П=Е_К’+Е_П’

4. Элементы специальной теории относительности

4.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

1. Принцип относительности Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно. 2. Принцип постоянства скорости света Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S’ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительно со скоростью вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

Рис.8

Тогда:

Здесь - скорость света в вакууме.

4.2. Следствия из преобразований Лоренца

Будем рассматривать системы и (рис. 8).

1. Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, происшедшими в системе отсчета ( отсчитывается по часам, находящимся в системе );

- промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

2. Изменение размеров движущихся тел.

где L’-длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе S’ (отсчитывается в системе отсчета S’);

L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

3. Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x` в системе отсчета со скоростью относительно последней. Найдем проекцию скорости этого тела в системе отсчета на ось x этой системы:

.

4.3. Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m₀ – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

u – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс:

,

где m – релятивистская масса.

Закон взаимодействия массы и энергии:

,

где m - релятивистская масса;

E – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

,

где - полная энергия;

- энергия покоя.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на Dm сопровождается изменением его энергии на DE:

DE=Dm×c².

Примеры решения задач

Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct³, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с³. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

Дано:

x = A + Bt + Ct3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c3 t1 = 2 c; t2 = 5 c x1, x2 <u>-? u1, u2 -? <a> a1, a2 -?

Решение 1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2: x1 = (4+2×2+0,2×23) м = 9,6 м, x2 = (4+2×5+0,2×53) м = 39 м. 2. Средняя скорость , м/с = 9,8 м/с. 3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения: u1=(2+3×0,2×22) м/с = 4,4 м/c; u2=(2+3×0,2×52) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

м/c²=4,2 м/с².

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

a₁=6×0,2×2 м/c²=2,4 м/с²;

a₂=6×0,2×5 м/с²=6 м/с².

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

w0 = 0. N = 2 e = const	Решение Разложив вектор точки М на тангенци­аль­ное и нормальное уско­ре­ния, видим, что иско­мый угол определяется соотно­шением tga=at/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы:
a -?

a_t = eR, a_n = w²R, где R – радиус маховика,

получим

tga=

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;

;

Поскольку w₀=0; j=2pN, то w²=2e×2pN=4pNe.

Подставим это значение в формулу, получим:

a» 2,3 °.

Ответ: a» 2,3 °.

Задача 3 Две гири с массами m₁ =2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

m1 = 2 кг m2 = 1 кг	Решение Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики где – равнодействующая всех сил, действующих на тело.
a, FН -?

На тело1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести и

сила натяжения нити . Для первого тела имеем:

(1)

для второго тела:

. (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

.

Ускорения тел а₁ и а₂ равны по модулю и направлены в противоположные стороны

.

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х:

Решая эту систему относительно а и F_Н, получаем:

=3,3 м/с²; =13 Н.

Ответ: a= 3,3 м/c²; F_H = 13,3 Н

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило­жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

М_ТР=4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e=100 рад/с².

Дано:

R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,3 Н×м e = 100 рад / c2	Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: или в скалярной форме , где - момент сил, приложенных к телу (MF - момент силы F, Mтр – момент сил трения);
m -?

- момент инерции диска.

Учитывая, что M_F=F×R, получаем: .

Отсюда

m=3,68 кг.

Ответ: m = 3, 68 кг