Две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине противоположными по направлению и направленными вдоль линии, соединяющей точки

где - сила, действующая на i-ую точку со стороны k-ой,

- сила, действующая на k-ую точку со стороны i-ой.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к системе материальных точек. Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных точек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимодействуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

, (i ¹ k),

где n - количество материальных точек системы; i,k - номера взаимодействующих точек.

2.2. Закон сохранения импульса

Рассмотрим второй закон Ньютона для системы материальных точек:

где - импульс i-ой материальной точки;

- результирующая внешних сил, действующих на i-ю точку.

Согласно третьему закону Ньютона , тогда ,

где = - импульс системы; - результирующая внешних сил, действующих на систему.

Таким образом, скорость изменения импульса системы равна результирующей внешних сил, действующих на систему. Если = 0, то такая система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени, т.е.

, и

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если ¹0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х

Для двух тел массами m₁и m₂, движущихся со скоростями и вдоль оси X навстречу друг другу, скорости их после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам

Если удар абсолютно неупругий, то

2.3. Момент силы и момент импульса относительно оси вращения

Вращательное действие силы характеризуется такой величиной, как момент силы относительно оси вращения (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы , - радиус-вектор точки М, проведённый перпендикулярно оси вращения O'O. Разложим на три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющие и - вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силы создаётся составляющей . Моментом силы относительно оси вращения O'O называется векторное произведение радиуса - вектора точки приложения силы, проведённого перпендикулярно оси вращения, на составляющую силы , перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору .

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

При вращательном движении материальная точка массы m двигается по окружности радиуса r со скоростью .

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора на импульс точки (рис. 6)

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно оси O'O.

2.4. Момент инерции тела относительно оси вращения

Момент инерции тела характеризует инертность тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции определяется размерами и формой тела, массой и положением оси вращения.

- момент инерции системы материальных точек.

- момент инерции тела,

где - плотность тела.

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 7).

2.5. Основной закон динамики вращательного движения

Из законов Ньютона следует, что скорость изменения момента импульса тела относительно оси будет равна результирующему моменту внешних сил относительно той же оси вращения.