В изолированной системе, в которой действуют лишь консервативные* силы, полная механическая энергия системы остаётся постоянной величиной. Введение

Момент инерции тела I относительно некоторой оси является мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I = mr²,

а для тела, которое можно представить в виде системы боль­шого количества материальных точек (рис. 1.), момент инерции относительно некоторой оси вращения равен сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до этой оси:

I =

Конструирование технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т.д.), требует знания величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

В работе определяется момент инерции маятника Максвелла – диска, неподвижно установленного на горизонтальной оси. На концах оси симметрично относительно диска закрепляются нити, с помощью которых маятник подвешивается к штативу. При вращении оси нити могут наматываться на ось или разматываться, обеспечивая тем самым перемещение маятника вверх и вниз. Если, намотав нити на ось, поднять маятник на некоторую высоту и отпустить его, то он начнет совершать колебательное движение в поле силы тяжести. В нижней точке маятник приобретает наибольшую скорость вращения, и, продолжая вращаться по инерции, снова поднимается на некоторую высоту за счет наматывания нитей на ось. После достижения верхней точки, где скорость вращения маятника становится равной нулю, он начинает падать, вращаясь при этом в другую сторону.

На рис. 2 показана схема сил, действующих на вал маятника. Движение маятника осуществляется под действием силы тяжести и силы натяжения нитей .

Движение маятника вниз является равноускоренным до тех пор, пока нити хотя бы частично намотаны на вал. При этом угловая скорость w вращения диска вокруг оси симметрии и линейная скорость u самой оси диска связаны между собой соотношением:

u = w , (1)

где d - диаметр вала, на который намотана нить. (Иными словами, скорость движения центра масс маятника равна скорости сматывания нитей с вала).

Кинетическая энергия диска складывается из кинетической энергии вращательного движения диска относительно оси симметрии и кинетической энергии его поступательного движения:

I = ,

где I -момент инерции маятника, М – его масса.

С учётом формулы (1)

I = . (2)

Согласно закону сохранения энергии в изолированной системе, в которой действуют лишь консервативные* силы, полная механическая энергия системы остаётся постоянной величиной.

В соответствии с этим законом при движении в поле силы тяжести кинетическая энергия маятника, который опустился с высоты h, равна его потенциальной энергии на этой высоте:

= Мgh. (3)

Движение маятника – равнопеременное, с постоянным ускорением. В этом случае скорость u выражается через высоту падения h и время движения t на основании кинематических соотношений:

u = at, (4)

h = , (5)

где а - ускорение, с которым движется центр масс диска. Из формул (4), (5) следует

u = . (6)

Подставив выражение (6) в уравнение (3) и решив его относительно I, получим расчетную формулу для экспериментального определения момента инерции I _Э маятника Максвелла относительно его оси симметрии

I _Э= . (7)

В процессе выполнения данной лабораторной работы необходимо измерить время t падения маятника Максвелла с высоты h и на основе полученных данных рассчитать его момент инерции.

Полученное значение момента инерции необходимо сравнить с теоретическим I _Т. Поскольку маятник – система, состоящая из диска и цилиндра (вала), то его момент инерции равен сумме моментов инерции диска и цилиндра, имеющих, соответственно, массы m _В, m _Д и диаметры d и D:

I _Т = + . (8)

Порядок выполнения работы

1. Соберите лабораторную установку в соответствии с рис. 3. Сначала смонтируйте стойку штатива (1) и закрепите на ней кронштейн (2). Направление кронштейна должно почти сов­падать с направлением одной из перекладин основания штатива. В этом случае штатив не будет опрокидываться при достижении маятником нижней точки. Закрепите на кронштейне нить маятника, и электромагнит (3) с сердечником (он должен выступать из корпуса магнита на два – три мм). Отрегулируйте длину нитей так, чтобы ось маятника (4) была горизонтальной.

Под свободно висящим неподвижным маятником установите оптодатчик (5). Отрегулируйте высоту установки кронштейна таким образом, чтобы нижняя кромка диска свободно висящего маятника была на 1 см ниже уровня, на котором находятся излучатель и приемник датчика.

2. Подключите измерительный блок L -микро к разъему последовательного порта компьютера (см. рис. 4). После этого подсоедините его к сети (220В, 50 Гц) и включите.

Подключите электромагнит к третьему каналу измерительного блока L -микро. Выводы, предназначенные для подачи напряжения питания, соедините с источником питания 12В. Это позволит управлять электромагнитом с помощью компьютера. Оптодатчик подсоедините к разъему первого канала измерительного блока L -микро.

3. Запустите программу L-рhуs.ехе, выберите пункт меню «СПИСОК ОПЫТОВ» и в появившемся на экране cписке выберите лабораторную работу «Маятник Максвелла».

4. Приступите к проведению опыта:

а) Включите блок питания.

б) Выберите пункт меню «измерение» При этом на электромагнит будет подано напряжение питания, а на экране появится соответствующее сообщение.

в) Намотайте нити на вал и подвесьте маятник к магниту. Когда электромагнит удерживает маятник, нити подвеса не должны быть натянуты и не должны провисать. Выполнение этих условий позволит Вам уменьшить разброс во времени падения маятника. Поэтому после того, как Вы подвесили маятник к электромагниту, слегка поверните его в направлении разматывания нитей.

г) Нажмите клавишу на экране. При этом одновременно с отключением питания электромагнита начнется отсчет времени падения маятника. Как только маятник перекроет свет в оптодатчике, на экране компьютера появится время его движения. Остановите руками движение маятника и запишите время в таблицу 1.

5. Повторите измерения по пунктам 4 в - 4 г еще 4раза. Измеренное время падения также занесите в таблицу 1.

Таблица 1

№ опыта
t, с

б. При помощи линейки определите высоту падения маятника h (измерьте расстояние от нижней точки диска маятника, когда он подвешен к электромагниту, до оптической оси оптодатчика) и запишите ее в таблицу 2. Туда же запишите приборную ошибку измерения h.

Таблица 2

h, м	D h, м	t СР, с	D t, с	I Т, кг×м2	I Э, кг×м2	sI, кг×м2

7. Обработка результатов проводится следующим образом:

а) На основании экспериментальных данных рассчитайте среднее время падения маятника t _ср.

Полученное t _ср внесите в таблицу 2.

б) Определите момент инерции маятника I _Э. Расчет проводится по формуле (7) с использованием характеристик маятника (масса и диаметр оси; g принять равным 9,81 м / с ²), приведенных в таблице 3, и времени падения. Полученный результат впишите в таблицу 2.

Таблица 3

m В , кг	d, м	m Д, кг	D, м	М, кг
0,10	0,0095	0,40	0,1005	0,50

в) Пользуясь формулой (8) и данными, приведёнными в таблице 3, рассчитайте теоретическое значение момента инерции маятника I _Т; результат вычислений впишите в таблицу 2.

г) Сопоставьте результаты расчетов и экспериментов. Оцените погрешность определения момента инерции маятника.

Поскольку измерения момента инерции являются косвенными, для оценки погрешности следует рассчитать среднеквадратичную ошибку s_I.

Среднеквадратичная ошибка s _f измерения какого-либо параметра f = f (x, y, z … ) в общем виде рассчитывается по формуле

s _f = .

Поскольку в настоящей работе момент инерции маятника вычисляется через измерения времени t его падения и высоты h,с которой он падает, то

s _I=

Продифференцировав выражение (7) по h и t, а также использовав вычисленные на предыдущем этапе значения t _СР, после стандартных преобразований можно получить необходимую формулу для расчёта :

s_I= (9)

В этой формуле D h – приборная ошибка измерения высоты падения, D t – случайная ошибка измерения времени падения, которая рассчитывается по методу Стьюдента.

D t = a .

Здесь a -коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, приведённой в Приложении к настоящему сборнику (см. также методические указания [3]). Величину доверительной вероятности при выборе коэффициента Стьюдента примите равной 0,95. Рассчитанное значение s_I запишите в таблицу 2.

Заметим, если рассчитанное значение D t окажется меньше 0,005с (приборной ошибки D t _П), то в формулу (9) нужно подставить приборную ошибку D t _П.

Окончательный результат запишите в виде:

I _Э = I _{Э СР} ± s_I кг × м²

I _Т = кг × м²

ВНИМАНИЕ:

1. Включать в сеть измерительный блок L -микро можно только после его подключения к разъему последовательного порта компьютера.

2. Перед проведением опыта проверьте целостность нитей подвеса маятника. Не допускайте ударов маятника по корпусу оптодатчика. Для этого необходимо руками останавливать его движение после первого или второго подъема вверх.

Контрольные вопросы

1. Какое свойство тела выражает момент инерции и как он вычисляется для материальной точки и системы материальных точек? В каких единицах он измеряется в СИ?

2. Сформулируйте закон сохранения энергии. Каким образом этот закон применяется в данной работе?

3. Объясните, каким образом в настоящей работе вычисляются ошибки измерений.

5. Выведите формулу (7) для определения момента инерции маятника Максвелла.

4. Выведите формулу (9) для расчёта среднеквадратичной ошибки.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3-х т. – М.: Наука, 1987. – Т.1, 432 с.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. – М.: Высш. шк., 2000.

3. Расчет погрешностей в лабораторных работах физического практикума. Методические указания к вводным занятиям в физическом практикуме/ Н.А. Гринчар, Ф.П. Денисов, Б.А. Курбатов и др.; Под общ. ред. Ф.П. Денисова. - М.: МИИТ, 1995. - 38 с.

РАБОТА № 7-П

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы: экспериментальное определение коэффициента вязкости (коэффициента внутреннего трения) жидкости по методу Стокса.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндрический сосуд с вязкой жидкостью (с глицерином, касторовым или вазелиновым маслом); подставка; стальной шарик; электромагнит; оптодатчики - 2 шт.; измерительный блок L -микро; блок питания.

Введение

Вязкость (внутреннее трение) –свойство текучих тел (жидкостей и газов)оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Она оказывает существенное влияние на протекание многих процессов и ее необходимо учитывать при решении практических задач в различных областях науки и техники: гидро-, аэродинамике, гидравлике, механике трущихся поверхностей (рельс – колесо) и т. д.

В равновесном состоянии различные слои жидкости (газа) покоятся друг относительно друга. При их относительном движении возникают факторы, стремящиеся уменьшить относительную скорость, то есть возникают силы торможения или проявляется вязкость. Механизм этих сил сводится к обмену импульсом упорядоченного движения между различными слоями, то есть, к переносу импульса упорядоченного движения. Поэтому возникновение сил трения в газах и жидкостях обусловлено процессом переноса, а именно процессом переноса импульса упорядоченного движения молекул.

Обычно возникновение сопротивления, обусловленное вязкостью, поясняют на следующем примере. Представим себе две пластины А и В (рис. 1), пространство между которыми заполнено жидкостью. Пластина В под действием тангенциальной касательной) силы движется с постоянной скоростью, пластина А неподвижна. Слой жидкости, ближайший к пластине В, как бы «прилипает» к ней и движется с той же скоростью, а слой, непосредственно прилегающий к пластине А, – неподвижен. Мысленно разобьем жидкость на плоско-параллельные слои, перемещающиеся с различными скоростями. На рис. 1 показана зависимость скорости слоя u (z) от расстояния z до пластины А. Рассечем мысленно жидкость, заключенную между пластинами А и В, на две части площадкой S, параллельной пластинам. Молекулы, находящиеся справа от S, обладают большей скоростью, а, следовательно, и большим импульсом, чем слева. Переходя из пространства BS в AS, молекулы передают часть своего упорядоченного импульса молекулам, с которыми они сталкиваются в левой части (AS). Аналогично, более медленные молекулы, попадая из левой части (АS) в правую, при столкновении отнимают часть упорядоченного импульса у молекул, расположенных в правой части (BS). В результате жидкость в правой части испытывает как бы тормозящую силу, направленную против скорости u. Таким образом можно объяснить возникновение сил внутреннего трения.

Для пояснения этого факта некоторые авторы проводят следующую аналогию. Две железнодорожные платформы движутся по параллельным рельсам с различными скоростями. Грузчики, находящиеся на платформах, перебрасывают мешки с песком со своей платформы на соседнюю. Ясно, что в результате этого быстрее движущаяся платформа будет тормозиться, а медленнее движущаяся - ускоряться.

Основной закон вязкого трения был установлен И. Ньютоном:

, (1)

где F – тангенциальная сила, вызывающая сдвиг слоев жидкости друг относительно друга,

S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг,

– градиент скорости течения (быстрота изменения скорости от слоя к слою),

h – коэффициент вязкости (внутреннего трения) жидкости.

Согласно формуле (1), h – коэффициент вязкости жидкости численно равен тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади, необходимой для поддержания разности скоростей равной единице, между двумя параллельными слоями жидкости, расстояние между которыми равно единице. В СИ h измеряется в Па×с.

В условиях установившегося ламинарного течения при постоянной температуре T коэффициент вязкости – постоянная величина, независящая от градиента скорости. Коэффициент вязкости имеет различные значения для различных жидкостей. Так, например, коэффициент вязкости глицерина (при температуре t = 20°C) почти в 1,5 тыс. раз больше, чем у воды. Для данной жидкости коэффициент h зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, и в первую очередь от температуры, понижаясь с ростом Т. Так, вязкость воды при изменении температуры от 0°C до 100°C уменьшается от 1,8×10^-3 до 2,8×10^-4 Па×с. Особенно сильно зависит от температуры вязкость масел; так, например, вязкость касторового масла при повышении температуры от 18°С до 40°С падает почти в четыре раза.

Экспериментально коэффициент внутреннего трения жидкости может быть найден путем измерения силы трения, возникающей при падении твердого тела (например, шарика) в этой жидкости. Различие скоростей слоев жидкости возникает потому, что в результате взаимного притяжения между частицами жидкости и падающего твердого тела (шарика) ближайший к шарику слой движется со скоростью шарика, а остальные – со все уменьшающейся скоростью. Слой жидкости, примыкающий к стенкам сосуда, имеет скорость, равную нулю.

Величину силы трения можно определить следующим образом.

На твердый шарик, падающий в жидкости, действует три силы (см. рис. 2):

-

Сила тяжести , направленная вертикально вниз, причём

mg = p r ³ r ₁ g,(2)

где m – масса шарика;

r – его радиус;

r ₁ – плотность материала шарика при данной температуре;

g – ускорение свободного падения.

- Подъемная сила Архимеда , направленная вертикально вверх и равная весу жидкости, вытесненной шариком,

F _A= p r ³ r ₂ g,(3)

Здесь r ₂ – плотность жидкости при данной температуре.

- Сила трения , направленная в сторону, обратную скорости движения (в нашем случае вертикально вверх), и пропорциональная при малых скоростях величине скорости. Как показал Стокс, эта сила при движении твердого тела, имеющего шаровую форму, равна

F _ТР = 6p hu,(4)

где u – скорость движения шарика;

h – искомый коэффициент внутреннего трения.

В результате действия на шарик трех сил он будет двигаться под действием их равнодействующей F. Согласно формулам (2) – (4),

F = P - F _А- F _ТР.

Силы mg и F _А постоянны, а F _ТР растет с увеличением скорости шарика. Это приводит к тому, что равнодействующая данных сил будет уменьшаться до тех пор, пока не станет равной нулю:

F = mg - F _А- F _ТР = 0. (5)

Начиная с этого момента, шарик будет двигаться равномерно. Подставляя значения действующих сил, а также формулы (2), (3) и (4) в выражение (5), получим условие равномерности движения шарика в виде

p r ³ g (r ₂ - r ₁) - 6p hu = 0,

откуда может быть определено значение h.

Подставляя в это уравнение скорость установившегося равномерного движения u = (здесь l – путь, который проходит шарик за время t) и учитывая, что диаметр шарика d = 2 r, получаем окончательное выражение для расчета коэффициента внутреннего трения жидкости:

. (6)

Порядок выполнения работы

1. Соберите установку для измерения вяз­кости как показано на рис. 3. Шарик (1) диаметром d, изготовленный из стали плотностью r ₁ уже находится в трубке (2), заполненной жидкостью с плотностью r ₂. В верхнюю часть трубки вставлена пробка с металлическим стержнем (3), выходящим из пробки наружу. На этом стержне закрепляется катушка электромагнита (4), который необходим, чтобы удерживать шарик. Трубка вводится в цилиндрический канал специального основания (5), имеющего боковые прорези для оптодатчиков (6) и (7). Оптодатчики необходимо вставить в данные прорези.

После отключения питания электромагнита шарик падает вниз; в работе автоматически измеряется время t между срабатываниями верхнего и нижнего датчиков, оптические оси которых расположены на расстоянии l друг от друга.

2. Подключите измерительный блок L -микро к разъему последовательного порта компьютера и включите его в сеть (220В, 50Гц). Девятиштырьковый разъем кабеля электромагнита подсоедините к третьему каналу измери­тельного блока, а на два штекера этого кабеля подайте постоянное напряжение 6В от блока питания. В первый и второй каналы измерительного блока включите оптодатчики (рис. 4). Включите измерительный блок L -микро.

3. Запустите программу L-рhуs.ехе, выбе­рите пункт меню «СПИСОК ОПЫТОВ» и в поя­вившемся на экране списке выберите лаборатор­ную работу «Измерение вязкости жидкости методом Стокса».

4. Выберите пункт меню «ИЗМЕ­РЕНИЕ», при этом будет подано напря­жение питания на электромагнит. Пере­верните трубку с жидкостью для того, чтобы шарик захватился электромагни­том. Вставьте трубку обратно в основание и произведите запуск (отключите питание электромагнита нажатием клавиши на экране). Время пролета шарика между оптическими осями датчиков появится на экране дисплея.

5. Проведите опыт 10 раз. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

Внимание: иногда шарик падает не по оси цилиндра с жидкостью, а проходит ближе к стенке. В этом случае его движение не регистрируется оптодатчиками, и, следовательно, опыт необходимо повторить.

Таблица 1

№
t, с

6. Вычислите усредненное значение времени движения шарика между оптодат­чиками t _СР. Используя известное значение расстояния, которое шарик пролетает между оптическими осями датчиков за время t _СР, вычислите скорость шарика u. Результаты вычислений запишите в таблицу 2.В эту таблицу уже внесены значения диаметра d шарика, его плотности r ₁ и плотности жидкости r ₂, а также – расстояния l между оптическими осями датчиков.

Таблица 2

d, м	r 1, кг/м 3	r 2 , кг/м 3	l, м	t СР, с	u, м/с
0,0051	7,8×103	1,18×103	0,03

7. С помощью формулы (6) рассчитайте коэффициент внутреннего трения жидкости. В расчётах принять g = 9,81 м/с ².

Результат запишите в таблицу 3.

Таблица 3

h, Па×с	s h, Па×с