Жеке туындылар

1. Анықталмаған коэффициенттер әдісі.

Интерполяциялық формулаларды қолдану кезіндегі ұқсас формулаларды түйіндердің еркін орналасқан жағдайы үшінде алуға болады. лагранж көпмүшелігін қолдану бұл жағдайда өте көп өрнектерді есептеуге әкеледі, сондықтан анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданған ыңғайлы. Ол келесімен қорытындалады. k ретті туынды үшін қандайда бір нүктесінде ізделіп отырған өрнек түйіндеріндегі функциялардың берілген мәндерінің сызықтық үйлесімі түрінде беріледі:

(10)

Бұл қатынас дәл орындалады деп болжанады, егер у функциясы дәрежесі n –нен жоғары емес көпмүшелік болып табылса, яғни

түрінде көрсетілуі мүмкін.

Бұдан шығатыны, (10) қатынас, атап айтқанда көпмүшеліктері үшін дәл орындалуы тиіс. Осы өрнектерді тізбектеп (10) қоя отырып және дәл теңдіктің орындалуын талап ете отыра, белгісіз коэффициенттерінанықтау үшін n+1 сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

Мысалы. Төрт тең орналасқан түйіндер (n=3) жағдайында туындысы үшін өрнекті табу керек.

(10) жуықтау мына түрде жазылады:

(11)

Келесі көпмүшеліктерді қолданамыз:

(12)

Олардың туындыларын есептейміз:

(13)

(12) және (13) қатынастарды, келесі дәл теңдеудің орындалуын талап ете отырып тізбекті түрде сәйкес (11) оң және сол бөліктеріне қоямыз:

Соңғы теңдеулер жүйесін мына түрде аламыз:

Осы жүйені шеше отырып, аламыз

Осы мәндерді (11) қойып, туынды үшін мына өрнекті аламыз:

2. Аппроксимацияны жақсарту. Туындыларды аппроксимациялауға арналған соңғы-айырымдық қатынастардан көрінгендей, аппроксимациялау кезінде қолданылатын түйіндердің саны өскен сайын олардың дәлдік реті өсе түседі. Бірақ түйіндер санының үлкен кезінде осы қатынастар өте үлкен бола түседі, ол есептеу көлемінің өсуіне әкеледі. Алынатын нәтиженің дәлдігін бағалау қиындай түседі. Солай бола тұра аппроксимациялайтын соңғы-айырымдық схемаларда қолданылатын, түйіндердің бекітілген саны кезінде шешімді дәлдеудің қаоапайым және тиімді тәсілі бар. Ол Рунге-Ромберга әдісі. Оның мағынасын қысқаша баяндайық.

F(x) - аппроксимациялауға жататын туынды болсын делік, f(x,h) – h қадамымен теңөлшемді тордағы осы туындының соңғы-айырымдық апппроксимациясы, R - аппроксимация қателігі, оның басты мүшесін түрінде жазуға болады, яғни

Сонда туындыны аппроксимациялау үшін өрнекті жалпы жағдайда мына түрде көрсетуге болады:

(14)

3. Жеке туындылар. Кестелік түрде берілген, u=f(x,y) екі айнымалылы функцияны қарастырайық: , мұндағы . 2 кестеде деректер бөлігі берілген, олар бізге әріде керек болады.

Жеке туынды түсінігін қолданып, h₁ және h₂ қадамдарының кіші мәндері үшін жуықтап жазамыз:

Жоғарыда енгізілген белгілеулерді қолданып, түйінінде соңғы айырымдар қатынатары көмегімен жеке туындылар үшін келесі жуық өрнектерді аламыз:

Кесте 2

Көп айнымалылы функцияларды сандық дифференциалдау үшін, ертеректегі сияқты, интерполяциялық көпмүшелікті қолдануға болады. бірақ мұнда басқа тәсілді қарастырамыз – екі айнымалы функциясын Тейлор қатарына жіктеу:

(18)