2015-10-14
364
Одним из точных методов (критериев) анализа устойчивости нелинейных САР, не утративших свою актуальность и в настоящее время, является критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова.
В этом критерии нелинейная САР условно разделена на чисто линейную часть, обычно расположенную в прямой цепи, и чисто нелинейную часть, обычно расположенную в цепи обратной связи (рис. 1).
Рис. 1
В «классическом» варианте доказательства данного критерия принят ряд допущений:
1) Нелинейная часть – безинерционна.
2) Статическая характеристика нелинейной части является однозначной (без гистерезиса) и вписывается в Гурвицев угол К (0 < K < 
).
3) Линейная часть должна быть устойчивой, или в особых случаях иметь не более 2-х полюсов, расположенных на мнимой оси, при всех остальных полюсах передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости.
4) В особых случаях должна иметь место предельная устойчивость.
5) В.М. Попов ввел понятие видоизмененной АФЧХ, обозначаемой обычно 
и определяемой соотношениями:
|
|
|
,
где 
; 
; 
; 
, 
– действительная и мнимая части АФЧХ линейной части, соответственно.
Существуют аналитическая и геометрическая формулировки абсолютной устойчивости по В.М. Попову.
Более наглядной является геометрическая формулировка.
Для того, чтобы имела место абсолютная устойчивость в угле [0; К] в основном и в угле [eps; К] (где eps – бесконечно малое положительное число) в особых случаях, достаточно, чтобы в плоскости 
можно было выбрать прямую, проходящую через точку действительной оси с абсциссой –1/K так, чтобы годограф весь лежал строго справа от этой прямой и чтобы, кроме того, в особых случаях имела место предельная устойчивость.
На рис. 2 представлена графическая иллюстрация критерия Попова при анализе устойчивости нелинейной САР, где пунктирной линией представлен традиционный годограф Найквиста (годограф АФЧХ) для линейной части САР (W_лин), сплошной линией представлен видоизмененный годограф Попова, а точка на оси абсцисс с координатой -1/K (K – Гурвицев угол) расположена левее точки пересечения годографа Попова с осью абсцисс.
Очевидно, что через точку -1/К можно провести бесчисленное множество прямых.
На рис. 2 одна из множества прямых проведена так, что видоизмененный годограф Попова лежит строго справа от этой прямой.
Резюме: нелинейная САР абсолютно устойчива.
Рис. 2
На этом завершим краткое изложение основных положений критерия В.М. Попова.
Контрольные вопросы
1 Как Вы понимаете абсолютную устойчивость?
2 Что такое автоколебания?
3 Как вы понимаете устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколебаний?
|
|
|
4 Как выглядят фазовые портреты нелинейной системы, иллюстрирующие режимы мягкого и жесткого возбуждения автоколебаний.
5 Как определить устойчивость автоколебаний методом энергетического баланса?
6 Что такое гауссов угол?
7 Покажите связь критерия абсолютной устойчивости Попова с критерием Найквиста.
