Вопрос № 32 Докажите как определяются координаты центра тяжести однородных тел простейшей формы (сектора, дуги окружности)

1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ ра­диуса R с центральным углом АОВ = 2а (рис. 1.48, а). В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох.

Найдем координату хс по формуле: (1)

Выделим на дуге АВ элемент dl = Rdф, положение которого оп­ределяется углом ф.

Координата центра тяжести этого элемента Подставляя значения х и dl в формулу (1), получим

(2) Длина дуги L =2Ra. Тогда окончательно (3)

При а = П/2 имеем случай полуокружности. В этом случае

2. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2а (рис. 1.48, б).

Разобьем мысленно площадь сектора радиусами на элементар­ные секторы. Эти секторы можно рассматривать как треугольники, цен­тры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса

Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром тяжести дуги DE, положение которого найдем по формуле (3). Окончательно получим

(4) При сектор превращается в полукруг. В этом случае

Вопрос № 33, 34 33. Трение скольжения. Статический и динамический коэффициенты трения скольжения. Угол трения.+
34. Трение качения. Момент трения качения. Коэффициент трения качения и его размерность

Сила реак­ции всегда направлена по нормали к общей касательной в точке сопри­косновения, т.е. ее направление не зависит от величин и направлений действующих на тело активных сил. В действительности же абсолютно твердых и идеальных тел в природе нет, и поэтому направление силы реакции при равновесии тела зависит от активных сил.

Разложим реакцию R шероховатой поверхности на составляющие N и F. Со­ставляющая N, направленная по нормали к поверхностям соприкосновения, называется нормальной силой реакции, а составляющая F, находящаяся в касательной плоскости со­прикасающихся поверхностей - силой трения скольжения. В инженерных расчетах при учете сил трения обычно руководствуются приближенными, установленными опытным путем свойствами или за­конами трения. Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения (рис. 1.52).

Величина силы трения зависит от активных сил, действующих на тело, и может принимать любые значения от нуля до Fmax, которое достигается в момент нарушения равновесия. Предельное значение силы трения Fmax пропорционально нормальной силе реакции:

(1)

Безразмерный коэффициент пропорциональности fо, называется статическим коэффициентом трения скольжения. Он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся поверхностей, чистоты их обработки и, в довольно широких пределах не зависит от площади соприкосновения тел. При равновесии сила трения F всегда меньше или равна предельной силе трения Fmax, т.е. (2) Знак равенства соответствует предельному равновесию.

При скольжении одного тела по поверхности другого сила тре­ния направлена противоположно относительной скорости и равна про­изведению динамического коэффициента трения f на величину нор­мальной силы реакции. Динамический коэффициент трения/несколько меньше статического fo

В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения, реакция R отклонена от нормали на наиболь­ший угол ф0. Этот наибольший угол фо называется углом трения.

Из рис. 1.52 следует, что

(3) т.е. тангенс угла трения равен статическому коэффициенту трения скольжения.

Если действующие на тело силы приводятся к равнодействующей, линия действия которой проходит через точку касания А тела с шероховатой поверхно­стью и образует с нормалью в этой точке угол а (рис. 1.53), то легко заметить, что для того, чтобы равновесие тела не нару­шалось, необходимо, чтобы

откуда

Это значит, что никакая сила, образующая с нормалью угол а, меньший угла трения, сдвинуть тело не может.

Другой вид трения возникает при качении одного тела по по­верхности другого и называется трением качения.

Приложим к оси цилиндрического катка радиуса г горизонталь­ную силу Q (рис. 1.54). Кроме силы Q, на каток действует сила тяжести Р и сила реакции М. Как показывает опыт, при изменении величины си­лы Q от нуля до некоторого предельного значения каток будет оставать­ся в покое, т.е. силы, действующие на каток, уравновешены.

По теореме о трех уравновешенных силах, силы Q, Р и R схо­дящиеся, т.е. линия действия силы R проходит через центр катка, а ее точка приложения В смещена от вертикали, проходящей через точку касания, на некоторое расстояние 6.

Разложим реакцию R на составляющие: нормальную N и каса­тельную F, являющуюся силой трения. Теперь легко заметить, что в предельном положении равновесия катка к нему приложены две взаим­но уравновешивающихся пары (Q, Fmax) и (Р, N). Момент второй пары называется моментом трения качения и определяется формулой

(4)

Входящая в формулу (4) линейная величина 6 называется коэффициен­том трения качения, который определяется экспериментально и изме­ряется в единицах длины.